Ъгъл и точка...

[S.B.]

Даден е [tex]\angle POQ = 60^\circ[/tex] и т.$M$ вътрешна за него.Разстоянията от т.$M$ до раменете на ъгъла са $d_{1 }$ и $d_{2 }$.Да се намери разстоянието от т.$M$ до ъглополовящата на ъгъла.

[Davids]

Отдавна не се бях потил толкова над привидно семпла задача, но в крайна сметка получих разстоянието:
$\frac{2}{3}\cdot\frac{d_2 - d_1}{d_2 + d_1}\sqrt{d_1^2 +d_1d_2 + d_2^2}$

Важно е да се отбележи, че $d_2 \ge d_1$. Правилно ли съм смятал? В подхода си по-скоро съм убеден

[Евва]

Получих [tex]\frac{\sqrt{3}(d_{2 }-d_{1 })}{3}[/tex] ;[tex]d_{2 }[/tex][tex]\ge[/tex][tex]d_{1 }[/tex]
Направих допълнително построение и задачатa стана лесна.

[Евва]

Да означим търсеното разстояние от т.М до ъглополовящата на ъгъла с-ML . Построяваме права m така,че ML лежи на m .
Нека m пресича раменете на ъгъла в т.P и т.Q .
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]OPQ- ъглополовящата OL се явява и височина [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]OPQ е равнобедрен
Знаем [tex]\angle[/tex]POQ=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]OPQ е равностранен .Нека M[tex]H_{1 }[/tex]=[tex]d_{1 }[/tex] ,M[tex]H_{2 }[/tex]=[tex]d_{2 }[/tex] ([tex]d_{2 }[/tex][tex]\ge[/tex][tex]d_{1 }[/tex])

[tex]\triangle[/tex][tex]H_{1 }[/tex]PM е правоъгълен с [tex]\angle[/tex]PM[tex]H_{1 }[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]H_{1 }[/tex]P=[tex]\frac{PM}{2}[/tex] ;[tex]H_{1 }P^{2}[/tex]+[tex]H_{1 }M^{2}[/tex]=[tex]PM^{2}[/tex] ; [tex]\frac{PM^{2}}{4}[/tex]+[tex]d_{1 }^{2}[/tex]=[tex]PM^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] PM=[tex]\frac{2\sqrt{3}d_{1 }}{3}[/tex] (1)

По същия начин намираме хипотенузата на [tex]\triangle[/tex]MQ[tex]H_{2 }[/tex] MQ=[tex]\frac{2\sqrt{3}d_{2 }}{3}[/tex] (2)

ML=PL-PM=[tex]\frac{PQ}{2}[/tex]-PM=[tex]\frac{PM+MQ}{2}[/tex]-PM=[tex]\frac{MQ-PM}{2}[/tex] ( ползваме (1) и (2) )

ML=[tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\frac{2\sqrt{3}d_{2 }}{3}[/tex]-[tex]\frac{2\sqrt{3}d_{1 }}{3}[/tex]) = [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]( [tex]d_{2 }[/tex]-[tex]d_{1 }[/tex] )

[Knowledge Greedy]

Отдавна не се бях потил толкова над привидно семпла задача, но в крайна сметка получих разстоянието:
... . Правилно ли съм смятал? В подхода си по-скоро съм убеден

Едно [tex]d_1d_2[/tex] ти се губи под корена, но по принцип си прав