Височина в триъгълник

[S.B.]

В произволен [tex]\triangle ABC[/tex] височината $CH$ дели $\angle C$ в отношение $2:1$,а основата $AB$ на две части едната от които е $1$ см.Ако $CH = 2$см да се намери лицето на $\triangle ABC$.

[Добромир Глухаров]

В зависимост от това, коя част от $AB$ е 1 см, получавам два възможни отговора - $S=3\frac{2}{3}$ кв. см и $S=2\sqrt{5}-3$ кв. см.

[Добромир Глухаров]

Първи случай: $AH=1$

Височина в триъгълник I.png (14.61 KiB) Прегледано 969 пъти

$\Delta AHC$ - правоъгълен. $tgx=\frac{AH}{HC}=\frac{1}{2}\Rightarrow tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$

$\Delta HBC$ - правоъгълен. $tg2x=\frac{HB}{HC}\Rightarrow HB=HC.tg2x=2.\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

$AB=AH+HB=1+\frac{8}{3}=\frac{11}{3}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.HC=\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{3}.2=\frac{11}{3}$

Втори случай: $BH=1$

Височина в триъгълник II.png (14.88 KiB) Прегледано 969 пъти

$\Delta BHC$ - правоъгълен. $tg2x=\frac{HB}{HC}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{2tgx}{1-tg^2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow tg^2x+4tgx-1=0;\ (tgx>0)\Rightarrow tgx=\sqrt{5}-2$

$\Delta AHC$ - правоъгълен. $AH=HC.tgx=2\sqrt{5}-4$

$AB=AH+HB=2\sqrt{5}-4+1=2\sqrt{5}-3$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.HC=\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{5}-3).2=2\sqrt{5}-3$