Задача от матура по математика 2020

[nenam]

Здравейте!
Може ли някой да помогне за решаването на Зад. 25 от матура по математика – 2020 г. Условието е:
В триъгълник ABC отсечките AM = 6 cm и BN = 9 cm са медиани с обща пресечна точка G, а лицето на четириъгълника CNGM е 8 кв. cm. Намерете синус от ъгъл MGN.

[Гост]

Случайно отговора да е 2/3 ?

[nenam]

Да, това е отговора, но как стигаш до него?

[S.B.]

Здравейте!
Може ли някой да помогне за решаването на Зад. 25 от матура по математика – 2020 г. Условието е:
В триъгълник ABC отсечките AM = 6 cm и BN = 9 cm са медиани с обща пресечна точка G, а лицето на четириъгълника CNGM е 8 кв. cm. Намерете синус от ъгъл MGN.

Без заглавие - 2020-07-23T222258.538.png (237 KiB) Прегледано 3788 пъти

От свойството на медианите $\rightarrow BG:GN = 2:1 \Rightarrow BG = 6 , GN = 3$
Аналогично $AG = 4 , GM = 2$
Нека $\angle BGM = \varphi \Rightarrow \angle NGM = 180^\circ - \varphi$ като съседни ъгли

Още от 9 клас е известно ,че трите медиани разделят триъгълника на 6 равнолицеви триъгълника.

[tex]S_{NGMC } = S_{NGC } + S_{MGC } = \frac{2}{6}S_{ABC } = 8 \Rightarrow S_{ABC } = 24[/tex]
$S_{BGM } = \frac{1}{6}S_{ABC } \Rightarrow \frac{BG.MG}{2}.sin\varphi = 4 \Leftrightarrow \frac{6.2}{2}.sin\varphi = 4 \Rightarrow sin\varphi = \frac{2}{3}$
$\angle NGM = 180^\circ - \varphi \Rightarrow sin\angle MGN = sin(180^\circ - \varphi) = sin\varphi= \frac{2}{3}$

[Евва]

(2 начин) Да построим NE медиана в [tex]\triangle[/tex]AGN .
Да означим [tex]S_{NGM }[/tex]=S ,тогава [tex]S_{NMC }[/tex]=8-S
От NE и NG-медиани съответно в [tex]\triangle[/tex]AGN и [tex]\triangle[/tex]EMN [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AEN }[/tex]=[tex]S_{EGN }[/tex]=[tex]S_{NGM }[/tex]=S
От MN-медиана в [tex]\triangle[/tex]АМС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{AMN }[/tex]=[tex]S_{NMC }[/tex] т.е. 3S=8-S ; S=2 [tex]см.^{2}[/tex]

[tex]S_{NGM }[/tex]=S

[tex]\frac{NG.MG}{2}[/tex].sin[tex]\angle[/tex]NGM=2

[tex]\frac{3.2}{2}[/tex].sin[tex]\angle[/tex]NGM=2

sin[tex]\angle[/tex]NGM=[tex]\frac{2}{3}[/tex]