матура 2019

[Гост]

Моля да ми помогнете с решението на тези 2 задачи

1.Лицето на равнобедрен трапец е 108, а сбора от основите му- 18. Намерете сбора на диагоналите му. Отговора е 30

2.Равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ=20см е вписан в окръжност. От основата е построен равностранен триъгълник, който пресича окръжността в Т.Е. Дасе намери отсечката ЕС

[S.B.]

Моля да ми помогнете с решението на тези 2 задачи

1.Лицето на равнобедрен трапец е 108, а сбора от основите му- 18. Намерете сбора на диагоналите му. Отговора е 30

Без заглавие - 2020-10-25T064325.719.png (198.25 KiB) Прегледано 2633 пъти

Подлагаш на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ при което $D\rightarrow C , B\rightarrow M$
$\triangle AMC$ е равнобедрен и $CH$ е и височина и медиана
$\triangle AMC$ е равнолицев с трапеца $ABCD$ защото $AM = AB + BM$ , като $BM = CD$ от успоредника $BMCD$ и имат обща височина $CH$
$S_{AMC } = \frac{AM.CH}{2} \Leftrightarrow \frac{18.CH}{2} = 108 \Rightarrow CH = 12$
От $\triangle AHC$ според Питагор $ \rightarrow AC = \sqrt{AH^{2} + CH^{2}} = \sqrt{81 + 144} = 15$
$AC = BD = 15 \Rightarrow AC + BD = 30$

[S.B.]

Моля да ми помогнете с решението на тези 2 задачи

2.Равнобедрен правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ=20см е вписан в окръжност. От основата е построен равностранен триъгълник, който пресича окръжността в Т.Е. Дасе намери отсечката ЕD

Без заглавие - 2020-10-25T074932.455.png (258.42 KiB) Прегледано 2625 пъти

[tex]\triangle ABE[/tex] е правоъгълен, $\angle BAE = 60^\circ , \Rightarrow \angle EBA= 30^\circ ,AB = 20 \Rightarrow AE = 10$
От $\triangle ABD \rightarrow \frac{AD}{AB} = sin45^\circ \Leftrightarrow AD = 20\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AD = 10\sqrt{2}$
$\angle EAD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$
За $\triangle ADE$ прилагаш Косинусова теорема :
$DE^{2} = AE^{2} + AD^{2} - 2 AE.AD.cos15^\circ$
$cos^{2}15^\circ = \frac{1 + cos30^\circ}{2} = ...\frac{2 + \sqrt{3}}{4} \Rightarrow cos15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}$
Знаеш,че $AE = 10 , AD = 10\sqrt{2}, cos15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}}$
Удоволствието от пресмятането на $ED$ по Косинусовата теорема оставям изцяло за теб! Успех