няколко задачи от матурата..

[hello]

Здравейте. Искам да питам за решенията на 2-3 задачи от тази годишната матура по математика.

22. В равнобедрен триъгълник ABC(AC=BC), за който cosBAC=1/5 е вписана окръжност с радиус r=1cm. Намерете лицето на ABC.

23. Да се намери лицето на успоредник със страни 3cm и 5cm и ъгъл между диагоналите 45 градуса.

24. Намерете номера n на най-големия член на редицата, зададена с формулата аn = 6n-n^2-5

Благодаря ви предварително.

[Mark]

[tex]an=f(n)=-n^2+6n-5[/tex] [tex]a_{0}=-1[/tex] [tex]=>[/tex] [tex]f(n)_{max}=f(\frac{-b}{2a})[/tex] [tex]n=3[/tex]

[tex]S = {d_1}{d_2}sin\varphi \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}(\frac{{d_1}}{2})^2+(\frac{{d_2}}{2})^2-2.(\frac{{d_1}}{2}).(\frac{{d_2}}{2}).cos(\frac{\pi}{4})=9\\{d_1}^2+{d_2}^2 = 2(a^2 + b^2)\end{tabular}[/tex]
[tex]\frac{{d_1}^2 + {d_2}^2}{4} - \frac{{d_1}.{d_2}.\sqrt{2}}{4} = 9[/tex]
[tex]\frac{68}{4} - \frac{{d_1}.{d_2}.\sqrt{2}}{4} = 9[/tex]
[tex]{d_1}.{d_2} = \frac{8.4}{\sqrt{2}} = \frac{8.4.\sqrt{2}}{2} = 16.\sqrt{2}[/tex]
[tex]S = {d_1}{d_2}sin\varphi \frac{1}{2} = \frac{16}{2}=8[/tex]

[hello]

благодаря ти Mark. а за 22 задача някой може ли да помогне?

[sisoko15]

22. [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/tex]
[tex](\frac{1}{5})^2+sin^2\alpha=1[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]

Синусова теорема и намираш ВС=АС

От косинуса на [tex]\angle BAC[/tex] намираш АН(пускаме височината от С, [tex]HC\bot AB[/tex] ). АВ=2АН и след това [tex]S=\frac{1}{2}.AC.AB.sin\alpha[/tex]

[baroveca]

22. [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/tex]
[tex](\frac{1}{5})^2+sin^2\alpha=1[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}[/tex]

Синусова теорема и намираш ВС=АС

От косинуса на [tex]\angle BAC[/tex] намираш АН(пускаме височината от С, [tex]HC\bot AB[/tex] ). АВ=2АН и след това [tex]S=\frac{1}{2}.AC.AB.sin\alpha[/tex]

Синусова теорема се прилага само за ОПИСАНА окръжност, а това е ВПИСАНА!!! Тук се използват половинки ъгли, които се учат в 11 клас задължителна подготовка, но аз ги знам Задача се решава като се направи отношение на тангенс или котангенс от половинка ъгъл, намира се АН от там АВ=2АН и се използва формулата [tex]S=\frac{AC.ABsin\alpha }{2 }[/tex]
Ако ви затруднява решението, кажете и ще го напиша.

[Martin Nikovski]

зад. 22

Чертеж на зад. 22

zad. 22.jpg (11.16 KiB) Прегледано 736 пъти

[tex]O[/tex] е център на вписаната окръжност [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AO[/tex] и [tex]CO[/tex] са ъглополовящи в [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]CO[/tex] - ъглополовяща в равнобедрения [tex]\Delta ABC[/tex]([tex]AC=BC[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CO[/tex] е височина и медиана към [tex]AB[/tex], [tex]CO\cap AB=H[/tex], [tex]\angle AHC=\angle BHC=90^\circ[/tex], [tex]AH=BH=\frac{AB}{2 }[/tex]
В [tex]\Delta AHO[/tex]: [tex]\angle AHO=90^\circ[/tex], [tex]AH=\frac{AB}{2 }[/tex], [tex]OH=r=1cm[/tex]
Ако [tex]\angle BAC=\alpha[/tex], то [tex]\angle HAO=\frac{\alpha }{2 }[/tex]
Тогава: [tex]tg \frac{\alpha }{2 }=\frac{OH}{AH } =\frac{r}{\frac{AB}{2 } }=\frac{2r}{AB } \Rightarrow AB=\frac{2r}{tg \frac{\alpha }{2 } }[/tex]
Използвайки формулата за тангенс на половинка ъгъл [tex]tg \frac{\alpha }{2 } =\pm \sqrt{\frac{1-cos \alpha }{1+cos \alpha } }[/tex], получаваме: [tex]AB=\frac{2r}{\sqrt{\frac{1-cos \alpha }{1+cos \alpha } } } =\frac{2.1}{\sqrt{\frac{1-\frac{1}{5 } }{1+\frac{1}{5 } } } }=\frac{2}{\sqrt{\frac{\frac{4}{5 } }{\frac{6}{5 } } } }=\frac{2}{\sqrt{\frac{2}{ 3} } } =\frac{2\sqrt{3} }{\sqrt{2} }=\frac{\cancel2\sqrt{6} }{\cancel2 } =\sqrt{6} cm[/tex]
В [tex]\Delta AHC[/tex]: [tex]\angle AHC=90^\circ[/tex], [tex]\angle HAC=\alpha[/tex], [tex]AH=\frac{AB}{2 } =\frac{\sqrt{6} }{2 } cm[/tex]
[tex]tg \alpha =\frac{CH}{AH } \Rightarrow CH=AH.tg\alpha[/tex]
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1 \Rightarrow sin^2\alpha =1-cos^2\alpha=1-\left(\frac{1}{5 } \right)^2=1-\frac{1}{25 } =\frac{24}{25 }[/tex]
[tex]\alpha \in (0^\circ ;90^\circ)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin \alpha =+\sqrt{\frac{24}{25 } }=\frac{2\sqrt{6} }{5 }[/tex]
[tex]tg \alpha =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6} }{5 } }{\frac{1}{5 } }=2\sqrt{6}[/tex]
[tex]CH=AH.tg\alpha =\frac{\sqrt{6} }{\cancel2 } .\cancel2\sqrt{6} =6cm[/tex]
[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AB.CH}{2 } =\frac{\sqrt{6} .\cancel6}{\cancel2 }=3\sqrt{6} cm^2[/tex]