Задача 20 от тема за 2016 година-описан трапец

[Гост]

"В равнобедрен трапец ABCD(AB||CD) е вписана окръжност с център точка O,
която се допира до бедрото BC в точка K. Ако OC = 6 cm и CK = 4 cm, то лицето
на трапеца е:"
Откривам радиуса на вписаната окрижност и малката основа b, но не и бедрото.

[mail_dinko]

Опитах се да я реша, много тромаво ми се получи. По питагоровата теорема се намира r=OM=OK=h/2
От описан четириъгълник следва [tex]2 CB = a+ b \Leftrightarrow 2 CB = a+ 8 \Rightarrow CB = \frac {a+8}{2} \Rightarrow KB = \frac {a}{2}[/tex]
От чертежа - Разглеждаме подобни тригълници KOP и NCP
[tex]\frac {KO}{NC} =\frac {OP}{CP} =\frac {KP}{NP}[/tex]
[tex]\frac {2 \sqrt {5}}{4} =\frac {2 \sqrt {5} + m}{\sqrt {16+m^2}} =\frac {4 +\sqrt {16+m^2}}{m}[/tex]
[tex]\sqrt {5} .\sqrt {16 + m^2} = 4 \sqrt {5 }+ 2m[/tex] Повдигат се двете страни на втора степен. [tex]DM: m>0[/tex]
[tex]80+5m^2 = 80 + 4m^2 + 16 \sqrt {5} m \Rightarrow m^2 - 16\sqrt {5} m=0 \Rightarrow \boxed {m = 16 \sqrt {5}} \Rightarrow CP = 36[/tex]

Разглеждаме подобни тригълници MBP и KOP
[tex]\frac {MB}{KO} =\frac {BP}{OP} =\frac {MP}{KP}[/tex]
[tex]\frac {\frac {a}{2}}{2 \sqrt {5}} =\frac {40+ \frac {a}{2}}{18 \sqrt {5}} =\frac {20 \sqrt {5}}{40}[/tex]
[tex]20a = 200 \Rightarrow \boxed {a = 10}[/tex]

[tex]S = \frac {1}{2} . 2.2.\sqrt {5}.(10+8)= 36 \sqrt {5}[/tex]

[Евва]

(2 начин)
Нека [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\alpha[/tex] ,тогава прилежащият [tex]\angle[/tex]ВСD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
BO ,CO са ъглополовящи [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ОВС=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВСО=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]ОВС намираме [tex]\angle[/tex]ВОС=90[tex]^\circ[/tex] значи е в сила формулата [tex]ОК^{2}[/tex]=СК.ВК
[tex]\triangle[/tex]ОКС-правоъг. ,намираме катета ОК=2[tex]\sqrt{5}[/tex] см. [tex]\Rightarrow[/tex] 20=4ВК ; ВК=5 см. вече знаем ВС=ВК+КС=5+4=9 см.
ABCD-равнобедрен AD=9 см. ; от вписана окр. [tex]\Rightarrow[/tex] AB+CD=AD+BC ; AB+CD=18 (1)
[tex]S_{ABCD }[/tex]=([tex]P_{ABCD }[/tex].r):2=[ (18+9+9)2[tex]\sqrt{5}[/tex] ]:2=[tex]\frac{36.2 \sqrt{5} }{2}[/tex]=36[tex]\sqrt{5}[/tex] [tex]см.^{2}[/tex]

[S.B.]

"В равнобедрен трапец ABCD(AB||CD) е вписана окръжност с център точка O,
която се допира до бедрото BC в точка K. Ако OC = 6 cm и CK = 4 cm, то лицето
на трапеца е:"
Откривам радиуса на вписаната окрижност и малката основа b, но не и бедрото.

Без заглавие - 2021-05-09T072041.216.png (184.88 KiB) Прегледано 2928 пъти

Още един поглед върху задачата

Центърът $O$ на вписаната в трапеца $ABCD$ окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите $OC$ и $OB$ на прилежащите ъгли [tex]\angle B[/tex] и [tex]\angle C[/tex]
[tex]\angle C+ \angle B = 180 ^\circ \Rightarrow \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = 90 ^\circ \Rightarrow \angle OBC + \angle OCB = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle OCB[/tex] е правоъгълен
От метричните зависимости в правоъгълен триъгълник [tex]\Rightarrow OC^{2}= CK.BC \Leftrightarrow 36 = 4.BC \Rightarrow BC = 9[/tex]
В трапеца е вписана окръжност[tex]\Rightarrow AB + CD = 2BC = 18 \Rightarrow P_{ABCD } = 36 \Rightarrow p = 18[/tex]
От [tex]\triangle OKC \rightarrow r = OK = \sqrt{ 6^{2} - 4^{2} } \Rightarrow r = 2 \sqrt{5}[/tex]
$$S_{ABCD } = p.r = 18.2 \sqrt{5} = 36 \sqrt{5} $$