задача от матура

[ivan_dimitrov]

здр на всички ще бъда мн благодарен ако ми помогнете леко с решението на тази задача :
Точките M,N,P,Q са среди на страните AB,BC,CD,DA на четириъгълника ABCD AC=4 sm BD=6 sm NQ=?10
Дължината на MP e ?

[martin123456]

[tex]MN[/tex] средна отсечка в [tex]\Delta ABC[/tex] и значи [tex]MN=2[/tex]. аналогично и [tex]NP, PQ, QM[/tex] са средни отсечки в накакви триъгълници. за тях [tex]QP=MN=2, QM=PN=3[/tex]. значи [tex]MNPQ[/tex] е успоредник. единият му диагонал [tex]NQ=\sqrt{10}[/tex]. нека [tex]\angle QMN=\varphi[/tex]. от кос теорема за [tex]\Delta QMN[/tex] намери [tex]\cos{\varphi}[/tex]. използвай че [tex]\cos{(\pi - \varphi)}=-\cos{\varphi}[/tex] и приложи кос т-ма за [tex]\Delta PQM[/tex] с [tex]\angle PQM=\pi - \varphi \Rightarrow PM[/tex].