равнобедрен триъгълник

[Гост]

здр отново хора, я помагайте с тази задача, ще бъда мн благодарен.

Основата на равнобедрен триъгълник е 2 см, а медицентърът му лежи върху вписаната в триъгълника окръжност. Намерете бедрото на триъгълника.

[Wiktor]

Малко пояснения, за да стане ясно. [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен триъгълник. Тук медианата и височината съвпадат, тоест медицентъра G не само, че ще лежи на вписаната в триъгълника окръжност, но и на височината CH на самия триъгълник (забравих да отбележа в решението, че CH е височина, затова сега го декларирам). Но трябва да се има в предвид, че центъра на окръжността O и медицентъра G не съвпадат. Решението е на снимката.

Решението ми е старо, ще предложа и друга алтернатива. Ще работя с чертежа, който е на снимката. Нека разгледаме [tex]\triangle AHC.[/tex] Построяваме ъглополовящата [tex]AO.[/tex] Като използваме това, че от първото решение намерихме, чe [tex]CH=6r[/tex], можем много лесно лесно да намерим и отношението [tex]CO:OH = 5:1.[/tex] Това отношение ни трябва, за да приложим свойството на ъглополовящата. Тоест в нашия случай за ъглополовящата AO:

[tex]\frac{CO}{OH} = \frac{AC}{AH} \Leftrightarrow \frac{5}{1} = \frac{AC}{ \frac{AB}{2} } \Rightarrow[/tex]От AB = 2 cm, замествам и "на кръст" получавам за бедрото [tex]AC=BC=5 cm.[/tex]

Скрит текст: покажи

Случайно задачата да е от сборника "Готови за матура" на издателство Булвест 2000? Питам, защото напоследък забелязвам някои задачи от този сборник (пример: https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=87&t=30087) . Бих Ви посътветвал да погледнете вече решените задачи от темата, която решавате, а след това да преминете към нерешените. Защото решените задачи са тясно свързани с нерешените, като решените задачи Ви помагат за решаването на нерешените такива.

[KOPMOPAH]

Ето ТУК има подобна задача.

[S.B.]

здр отново хора, я помагайте с тази задача, ще бъда мн благодарен.

Основата на равнобедрен триъгълник е 2 см, а медицентърът му лежи върху вписаната в триъгълника окръжност. Намерете бедрото на триъгълника.

Без заглавие - 2022-07-26T225115.265.png (246.73 KiB) Прегледано 2509 пъти

Още една идея:
Нека $r$ е радиусът на вписаната окръжност.
$M$ е медицентър[tex]\Rightarrow \frac{CM}{MH}= \frac{2}{1} , MH = 2r \Rightarrow CM = 4r[/tex]
[tex]OT \bot BC, OT = r[/tex]
За [tex]\triangle COT[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам [tex]CT = 2r \sqrt{6}[/tex]
[tex]\triangle CHB \approx \triangle COT \Rightarrow \frac{CT}{CH} = \frac{OT}{BH} \Leftrightarrow \frac{2r \sqrt{6} }{6r} = \frac{r}{1} \Rightarrow r = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]
[tex]BC = CT + BT[/tex]
$BT = HT = 1$ (допирателни от външна точка към окръжност)

[tex]\begin{cases} CT = 2r \sqrt{6} \\ r = \displaystyle \frac{ \sqrt{6} }{3} \end{cases} \Rightarrow CT = 4[/tex]
$$BC = CT + BT = 4 + 1 = 5$$

[georgi.georg]

В равностранният триъгълник ABC медианите AM и CN се пресичат в точка O.Не е вярно твърдението :



a) Δ АBM≅ Δ BСN

b) <NAM= <ACN=30°

c)OM= ON

d)<AOC= <NOM=120°

e) Δ АNO≅ Δ AOC