Намерете лицето на триъгълник

[Гост]

В триъгълник ABC, ъгъл BAC е 60 градуса, страната BC = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] cm и радиуса на вписаната в ABC окръжност е r = 2 cm. Намерете лицето на триъгълника.

[S.B.]

В триъгълник ABC, ъгъл BAC е 60 градуса, страната BC = 3[tex]\sqrt{3}[/tex] cm и радиуса на вписаната в ABC окръжност е r = 2 cm. Намерете лицето на триъгълника.

Без заглавие - 2022-08-08T215642.044.png (234.94 KiB) Прегледано 1990 пъти

Центърът на вписаната [tex]\triangle ABC[/tex]окръжност съвпада с пресечната точка на ъглополовящите .[tex]\Rightarrow OA[/tex] е ъглопловяща на [tex]\angle BAC = 60 ^\circ \Rightarrow \angle OAB = 30 ^\circ[/tex]
Нека $M,N,P$ са допирните точки на окръжността със страните на триъгълника, [tex]OP\bot AB ,OM \bot BC, ON \bot AC[/tex] - радиуси.
От [tex]\triangle AOP \rightarrow \frac{AP}{OP} = \cotg 30 ^\circ \Leftrightarrow AP = OP.\cotg 30 ^\circ \Rightarrow AP = 2 \sqrt{3}[/tex]
[tex]AP = AN , BP = BM , CM = CN \Rightarrow P_{ABC } = 2AP + 2BM + 2CM = 4 \sqrt{3} + 2BC = 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \Rightarrow P_{ABC } = 10 \sqrt{3} \Rightarrow p_{ABC } = 5 \sqrt{3}[/tex]
[tex]S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = 2.5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}[/tex]