Намиране на лице на триъгълник

[Гост]

Даден е равнобедрен ABC с основа AB и tg[tex]\angle BAC =3[/tex]. Окръжност с радиус [tex]\sqrt{10}[/tex] см се допира до AC и ВС в точките А и В. Намерете лицето на триъгълника

[Wiktor]

Извинявам се за гадния чертеж.

[S.B.]

Даден е равнобедрен ABC с основа AB и tg[tex]\angle BAC =3[/tex]. Окръжност с радиус [tex]\sqrt{10}[/tex] см се допира до AC и ВС в точките А и В. Намерете лицето на триъгълника

Без заглавие - 2022-08-09T210835.143.png (246.76 KiB) Прегледано 2092 пъти

Още един поглед върху задачата:
Центърът $O$ на окръжността лежи на продължението на $CH$,която е ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex]
[tex]OA =OB = r = \sqrt{10} , OA \bot CA , OB \bot CB[/tex]
[tex]\triangle CAH[/tex] и [tex]\triangle CAO[/tex] имат равни ъгли :
И двата триъгълника са правоъгълни и имат общ ъгъл :
[tex]\angle ACH = \angle ACO \Rightarrow \angle COA = \angle HAC = \varphi[/tex]
От[tex]\triangle CAO \rightarrow \frac{CA}{AO} = \tg \varphi \Leftrightarrow \frac{CA}{ \sqrt{10} } = 3 \Rightarrow CA = 3 \sqrt{10}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \tg \varphi = 3\\ \sin^{2 } \varphi + \ cos^{2 } \varphi = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle \frac{\sin \varphi }{\cos \varphi } = 3 \\ \sin^{2 } \varphi + \cos^{2 } \varphi = 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \sin \varphi = 3\cos \varphi \\ 10 \cos^{2 } \varphi = 1 \end{array} \Rightarrow \cos \varphi = \displaystyle\frac{ \sqrt{10} }{10}, \sin \varphi = \displaystyle\frac{3 \sqrt{10} }{10}[/tex]
([tex]\angle \varphi < 90 ^\circ \Rightarrow \cos \varphi >0[/tex])

От [tex]\triangle AHC \rightarrow \frac{AH}{AC} = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{AH}{3 \sqrt{10} } = \frac{ \sqrt{10} }{10} \Leftrightarrow AH = \frac{3 \sqrt{10} \sqrt{10} }{10} \Rightarrow AH = 3 \Rightarrow AB = 6[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.AC}{2}.\sin \varphi \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{6.3 \sqrt{10} }{2}. \frac{3 \sqrt{10} }{10} \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABC } = 27 $$

[pal702004]

По чертежа на S.B.

$\triangle AOH \sim \triangle CAH$

$OH=x,AH=3x,CH=9x$

$S=27x^2$

$(3x)^2+x^2=10$

[S.B.]

По чертежа на S.B.

$\triangle AOH \sim \triangle CAH$

$OH=x,AH=3x,CH=9x$

$S=27x^2$

$(3x)^2+x^2=10$

Разбира се,че и така може!Моята идея беше ,тъй като условието позволява,да използвам изяществото на тригонометрията за да представя изцяло тригонометрично решение.