Задача ДЗИ

[Гост]

Докажете, че [tex]sin \alpha + cos \alpha[/tex] е тъждествено равно на [tex]\sqrt{2}cos( \alpha+45 ^\circ)[/tex]

[ammornil]

Докажете, че [tex]sin \alpha + cos \alpha[/tex] е тъждествено равно на [tex]\sqrt{2}cos( \alpha+45 ^\circ)[/tex]

Според мен има нещо сгрешено в това условие, защото [tex]\sin{\alpha} +\cos{\alpha} = \sqrt{2} \cos{(45 ^\circ - \alpha)}[/tex] и не е равно на това което искате да докажете.

[S.B.]

Докажете, че [tex]sin \alpha + cos \alpha[/tex] е тъждествено равно на [tex]\sqrt{2}cos( \alpha+45 ^\circ)[/tex]

[tex]\sin \alpha + \cos \alpha =[/tex]
[tex]= \sin \alpha +\sin(90 ^\circ - \alpha ) =[/tex]
[tex]= 2\sin \frac{ \alpha + 90 ^\circ - \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha - 90 ^\circ + \alpha }{2} =[/tex]
[tex]= 2\sin 45 ^\circ .\cos( \alpha - 45 ^\circ =[/tex]
[tex]= 2 \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos( \alpha - 45 ^\circ ) =[/tex]
[tex]= \sqrt{2}.\cos(45 ^\circ - \alpha ) =[/tex]
[tex]= \sqrt{2}.\sin[90 ^\circ - (45 ^\circ - \alpha)] =[/tex]
[tex]= \sqrt{2} .\sin(90 ^\circ - 45 ^\circ + \alpha) =[/tex]
[tex]= \sqrt{2}.\sin(45 ^\circ + \alpha ) \ne \sqrt{2}\cos(45 ^\circ + \alpha )[/tex]
Което показва,че задачата е некоректно зададена