задача от матура

[ivan_dimitrov]

здр !
Даден е триъгълникът ABC , AC=5,AB=7 ,<ACB= 60 Да се намери разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната BC. Аз започнах като намерих страната BC с косиносова теорема но не ми е ясно как да продължа на там ще съм благодарен ако някой удари едно приятелско рамо

[Martin Nikovski]

Намерил си страната [tex]BC[/tex] с косинусова теорема...
[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\angle ACB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC^2-2.5BC.cos60^\circ =7^2-5^2[/tex]
[tex]BC^2-5BC-24=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BC=8cm[/tex]
Триъгълникът [tex]BOC[/tex] е равнобедрен [tex]OB=OC=R[/tex], следователно [tex]OH[/tex] е височина, медиана и ъглополовяща... [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]BH=\frac{BC}{2 }=4cm[/tex]
Със синусова теорема намираме радиуса на окръжността:
[tex]\frac{AB}{sin\angle ACB }=2R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{7}{sin60^\circ } =2R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R=\frac{7\sqrt3}{3 }cm[/tex]
Питагорова теорема за [tex]\angle OHB[/tex]: [tex]OH^2=OB^2-BH^2=R^2-4^2=\left(\frac{7\sqrt3}{3 }\right) ^2-16=\frac{49}{3 }-16=\frac{1}{3 }[/tex]
Тогава [tex]OH=\sqrt{\frac{1}{3 }}=\frac{\sqrt3}{3 }[/tex]

[emil3993]

Хубава задача.