Задача от ДЗИ-ПП 2023 г

[Гост]

Тази задача е давана на матура през тази година. Аз знам как се решава с правилото на Лопитал, но понеже е давана на ученици, може ли някой да я реши без правилото на Лопитал (синът ми казва, че това правило не го учат в училище).
Това е условието:

Условие на задачата:

zad10.png (3.24 KiB) Прегледано 3100 пъти

[ammornil]

Формули, които използваме за препобразуванията по-долу

Скрит текст: покажи

[tex]\frac{\pi}{2}[rad]=90^{\circ}[/tex]
[tex]\sin(90^{\circ}-\varphi)=\cos{\varphi}; \hspace{3em} 1-\cos{2\varphi}=2\sin^{2}{\varphi} ; \hspace{3em} \lim_{\varphi \to 0}{\frac{\sin{\varphi}}{\varphi}}=1[/tex]

[tex]\sin{2x}=\sin{\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\right]}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}=\cos{\left[2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]}[/tex]

[tex]1-\cos{\left[2\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]}=2\sin^{2}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}[/tex]

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}{\frac{1-\sin{2x}}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}{\frac{2\sin^{2}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\left[{2\sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}\right]=2\cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}{\sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}\cdot \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}{\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}{\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}}= \cdots =[/tex]

[tex]=2\cdot \sin{0} \cdot 1=2\cdot 0 = 0[/tex]

[S.B.]

И още един поглед върху задачата:
[tex]\lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{1 - \sin 2x}{x - \frac{ \pi }{4} } =[/tex]

[tex]= \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{\sin \frac{ \pi }{2} - \sin 2x }{x - \frac{ \pi }{4} } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{2\cos( \frac{ \pi }{4}+ x)\sin( \frac{ \pi }{4}- x) }{x - \frac{ \pi }{4} } =[/tex]

[tex]= \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{-2\sin(x- \frac{ \pi }{4}).\cos( \frac{ \pi }{4}+ x) }{x - \frac{ \pi }{4} } =[/tex]

[tex]= \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{\sin(x - \frac{ \pi }{4}) }{x - \frac{ \pi }{4} }. \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } -2\cos(x + \frac{ \pi }{4}) =[/tex]

[tex]= 1. (-2).\cos \frac{ \pi }{2} = 1.0 = 0[/tex]

Скрит текст: покажи

Използвам формулата за разлика на синуси:
[tex]\sin\alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin \frac{ \alpha-\beta }{2}[/tex] , като [tex]1 = \sin \frac{ \pi }{2}[/tex]
и границата [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето и още едно. Сравнително рядко се среща, но нали въпросът е "без Лопитал"!

Тази задача е давана на матура през тази година. Аз знам как се решава с правилото на Лопитал, но понеже е давана на ученици, може ли някой да я реши без правилото на Лопитал (синът ми казва, че това правило не го учат в училище).
Това е условието: [tex]\lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{1-sin2x}{x- \frac{ \pi }{4} }=?[/tex]

Решение:
Разглеждаме функцията [tex]f(x)=-sin2x[/tex] .
Знаем всичките ѝ свойства (доколкото позволява програмата). Най-важното от тях в случая, че е диференцируема в [tex]\mathbb{R}[/tex].
Ще намерим производната ѝ и ще открием нейната стойност в [tex]x_0=\frac{ \pi }{4}[/tex].
По дефиниция
[tex]f'\left ( \frac{ \pi }{4} \right )= - \lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{sin2x-sin 2\left ( \frac{ \pi }{4} \right )}{x- \frac{ \pi }{4} }[/tex]

Знаем, че [tex](sin2x)'=2cos2x[/tex]
Още
[tex]f'\left ( \frac{ \pi }{4} \right )=-2cos 2\left ( \frac{ \pi }{4} \right )=-2 .0 =0[/tex]
Ето защо
[tex]\lim_{x \to \frac{ \pi }{4} } \frac{1 - sin2x}{x- \frac{ \pi }{4} }=f'\left ( \frac{ \pi }{4} \right )=0[/tex]