Задачи от сборници за матура,които ме затрудниха

[baroveca]

1.В трапец АВСD АВ=5CD, BC=AD и разстоянието от точка А до правата ВС е равно на бедрото ВС.Намерете синуса на ъгъла при основата на трапеца.

2.В ?АВС AB=c, BC=a, AC=b.Да се докаже,че центърът на вписаната в триъгълника окръжност дели ъглополовящата CL на ъгъл ACB в отношение (a+b):c

3.В ?АВС на страната АВ е избрана точка К така,че АК:ВК=1:2,а на страната ВС е избрана точка L така,че СL:ВL=2:1.Нека Q е пресечната точка на правите АL и СК.Намерете лицето на ?АВС, ако лицето на ?ВQС е 1.

4.Да се намерят всички стойности,които може да приема функцията [tex]f(x)=sin^4x+cos^4x+sin2x[/tex]

[loving_math]

2.Нека О е центърът на вписаната окръжност.
От свойството на ъглополовящата CL в ? ABC имаме:
[tex]\frac{AL}{ LB} =\frac{b}{ a}[/tex]
[tex]AL+LB=c[/tex]=>[tex]\frac{AL}{c-AL }=\frac{b}{ a}[/tex]
[tex]AL=\frac{bc}{a+b }[/tex]
AO-ъглополовяща в ?ALC.Отново ползваме свойството на ъглополовящата.[tex]O \in l[/tex]
[tex]\frac{CO}{OL }=\frac{AC}{AL }[/tex]
[tex]\frac{CO}{OL }=\frac{b}{ \frac{bc}{ a+b} } =\frac{b(a+b)}{bc } =\frac{a+b}{ c}[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]f(x)=1-2sin^2xcos^2x+2sinxcosx[/tex]

Пoлагаме [tex]sinxcosx=t\in [-\frac{1}{2 } ; \frac{1}{2 } ][/tex] и тогава търсим нмс и нгс на

[tex]g(t)=-2t^2+2t+1; t\in [-\frac{1}{2 } ; \frac{1}{2 } ][/tex]

[Anubis]

Зад. 1. [tex]CC_{1} \bot AB, \, DD_{1} \bot AB; \, CD=a \Rightarrow C_{1}D_{1}=a, \, AD_{1}=BC_{1}=2a[/tex]

[tex]CC_{1}=h, \, BC=b, \, \angle ABC=\alpha, \, AK \bot BC[/tex]

[tex]\triangle BC_{1}C \sim \triangle BKA \Rightarrow \frac{BC_{1}}{BK}=\frac{C_{1}C}{KA}=\frac{BC}{BA} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{2a}{BK}=\frac{h}{b}=\frac{b}{5a} \Leftrightarrow b^2=5ah \Rightarrow 4a^2 + h^2 = 5ah \Leftrightarrow 4 \frac{a}{h} + \frac{h}{a} = 5 \Leftrightarrow \frac{a}{h}=1 \, \cup \, \frac{a}{h}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow h = a \, \cup \, h = 4a[/tex]

[tex]sin \alpha = \frac{CC_{1}}{BC} = \frac{h}{b} \Leftrightarrow sin \alpha_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \, sin \alpha_{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]

[loving_math]

Получавам отговор 1,75 кв. см за лицето на триъгълника от 3 задача.След малко ще напиша решението й.
Ето обещаното преди малко решение.
Построяваме права LN II CK , [tex]N \in AB[/tex]
? [tex]NBL\approx[/tex]?[tex]KBC[/tex]
[tex]\frac{NB}{BK }=\frac{BL}{ BC} =\frac{x}{ 3x}=\frac{1}{ 3}[/tex]където[tex]BL=x, CL=2x[/tex]
[tex]BN=\frac{BK}{ 3}[/tex],
[tex]BN=\frac{2AB}{9 }[/tex], [tex]AN=1-\frac{2AB}{ 9} =\frac{7AB}{ 9}[/tex]
По аналогичен начин разглеждаме още два подобни триъгълника.
?[tex]AKQ\approx[/tex]?[tex]ANL[/tex]
[tex]\frac{AQ}{AL } =\frac{AK}{AN }=\frac{\frac{AB}{ 3} }{\frac{7AB}{ 9} } =\frac{3}{ 7}[/tex]
=>[tex]QL=\frac{4AL}{ 7}[/tex]
Имаме по условие, че [tex]S_{BQC }=S_{BQL }+S_{QLC }=1[/tex]
Нека ъгъл BLQ=?
=>[tex]S_{BQC }=\frac{BL.QL.sin\alpha }{ 2} +\frac{LC.QL.sin(180-\alpha) }{2 }[/tex]
Знаем, че [tex]QL=\frac{4AL}{ 7}[/tex]
В изразеното за лицето по-горе от стойността на QL изваждаме пред скоба само множителя 4/7
[tex]S_{BQC }=\frac{4}{7 }( \frac{BL.AL.sin\alpha }{ 2} +\frac{LC.AL.sin(180-\alpha )}{2 })[/tex]
[tex]S_{BQC }=\frac{4}{7 }(S_{ABL }+ S_{ALC })[/tex]
[tex]S_{BQC }=\frac{4}{7 }(S_{ABC })[/tex]
[tex]S_{ABC }=\frac{1}{\frac{4}{7 } }= \frac{7}{4 }=1,75[/tex]кв.см.

[L.e.o]

[tex]AD_{1}=BC_{1}=2a[/tex]

Kак се стига до това? Тоест, че АВ=5СD. ???

[loving_math]

[tex]AD_{1}=BC_{1}=2a[/tex]

Kак се стига до това? Тоест, че АВ=5СD. ???

Дадено е по условие, че АВ=5СD ..

[baroveca]

Зад. 1. [tex]CC_{1} \bot AB, \, DD_{1} \bot AB; \, CD=a \Rightarrow C_{1}D_{1}=a, \, AD_{1}=BC_{1}=2a[/tex]

[tex]CC_{1}=h, \, BC=b, \, \angle ABC=\alpha, \, AK \bot BC[/tex]

[tex]\triangle BC_{1}C \sim \triangle BKA \Rightarrow \frac{BC_{1}}{BK}=\frac{C_{1}C}{KA}=\frac{BC}{BA} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{2a}{BK}=\frac{h}{b}=\frac{b}{5a} \Leftrightarrow b^2=5ah \Rightarrow 4a^2 + h^2 = 5ah \Leftrightarrow 4 \frac{a}{h} + \frac{h}{a} = 5 \Leftrightarrow \frac{a}{h}=1 \, \cup \, \frac{a}{h}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow h = a \, \cup \, h = 4a[/tex]

[tex]sin \alpha = \frac{CC_{1}}{BC} = \frac{h}{b} \Leftrightarrow sin \alpha_{1} = \frac{1}{\sqrt{5}}, \, sin \alpha_{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]

Как разбрахме,че [tex]AK\bot BC[/tex]?
Би ли обяснил как стигна до това,че [tex]5ah \Leftrightarrow 4 \frac{a}{h} + \frac{h}{a} = 5 \Leftrightarrow \frac{a}{h}=1 \, \cup \, \frac{a}{h}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow[/tex]

[baroveca]

Получавам отговор 1,75 кв. см за лицето на триъгълника от 3 задача.След малко ще напиша решението й.
Ето обещаното преди малко решение.
Построяваме права LN II CK , [tex]N \in AB[/tex]
? [tex]NBL\approx[/tex]?[tex]KBC[/tex]
[tex]\frac{NB}{BK }=\frac{BL}{ BC} =\frac{x}{ 3x}=\frac{1}{ 3}[/tex]където[tex]BL=x, CL=2x[/tex]
[tex]BN=\frac{BK}{ 3}[/tex],
[tex]BN=\frac{2AB}{9 }[/tex], [tex]AN=1-\frac{2AB}{ 9} =\frac{7AB}{ 9}[/tex]
По аналогичен начин разглеждаме още два подобни триъгълника.
?[tex]AKQ\approx[/tex]?[tex]ANL[/tex]
[tex]\frac{AQ}{AL } =\frac{AK}{AN }=\frac{\frac{AB}{ 3} }{\frac{7AB}{ 9} } =\frac{3}{ 7}[/tex]
=>[tex]QL=\frac{4AL}{ 7}[/tex]

Би ли обяснила откъде се взе тази тройка в първото подобие?Би ли обяснила по- подробно как се стига до тук?

[loving_math]

Имаш разстояние от точка до права, то е перпендикуляр. Това по първия ти въпрос.
По второто ти питане - въпрос е на малко сметки.
Разделяш двете страни на уравнението на ah и получаваш
[tex]4.\frac{a}{ h}+\frac{h}{a }=5[/tex]
Положи [tex]\frac{a}{ h}=t[/tex]
[tex]4t+\frac{1}{t } =5[/tex]
[tex]t_{1 }=1, t_{2 }=\frac{1}{ 4}[/tex]
[tex]\frac{a}{ h}=1[/tex] [tex]\cup \frac{a}{ h} =\frac{1}{ 4}[/tex]

[loving_math]

По другата задача..Ако LB=x, то по условие от пропорцията =>LC=2x
BC=LB+BC=x+2x=3x
=> BL/BC=x/3x=1/3
Тоест цялата отсечка ВС се състои от 3 равни части, две от които съставят дължината на LC, а третата - на LB.

[baroveca]

[tex]\Rightarrow 4a^2 + h^2 = 5ah[/tex]

„Това как се получи?

[L.e.o]

Намерено е от подобие на триъгълници, че страната на трапеца на квадрат е 5аh (a -малката основа, h - височината), след което е приложена Питагорова Т. за триъгълника заграден от височината.

[baroveca]

Намерено е от подобие на триъгълници, че страната на трапеца на квадрат е 5аh (a -малката основа, h - височината), след което е приложена Питагорова Т. за триъгълника заграден от височината.

Офф бива ли да съм толкова сляп...от няколко дни имам чувството,че не мога да решавам задачи.. сякаш ме е обзела беззнанието А [tex]\sqrt{5}[/tex] откъде се взе?