Граница на функция

[Гост]

Здравейте, може ли някой да намери долната граница, но без да използва правилото на Лопитал.

granisa.png (3.06 KiB) Прегледано 2530 пъти

[Гост]

Може да се използват тригонометрични формули и да са съкрати множител, който прави 0 в числителя у знаменателя.

[Davids]

Може би не е най-оптималният и елегантен подход, но ще го карам както ми дойде на мен от първия опит (може би като някакъв вид най-естествено):
Нека си кръстим търсената граница $L := \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}cosx-1}{1-tg^2x}$.

Да отбележим за начало, че имаме неопределеност тип $\left[\frac{0}{0}\right]$, както е споменал и колегата горе.

Преди да се заемем по същество, ще поразчистим малко лесните неща.
Например знаменятелят ни е $1-tg^2x = (1-tgx)(1+tgx)$, където неопределеността идва от нулата в левия множител. Десният си клони баш към 2, т.е. $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}(1+tgx) = 2$, което е хубава константа и директно можем да направим прехода там.

И така $L = \frac{1}{2}\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}cosx - 1}{1-tgx}$, сиреч $2L = \lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{2}cosx - 1}{1-tgx}$

Сега по същество: по принцип обичаме нещата да клонят или към 0, или към безкрайност. Другото, както се вика, е за красота. Затова ще започнем с леко отместване на променливата, като я сменим: $t := x - \frac{\pi}{4}$ и се занадеем, че ще излезе нещо хубаво от тригонометричните врътки после.

Стигаме до: $2L = \lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{2}cos(t+\frac{\pi}{4}) - 1}{1 - tg(t+\frac{\pi}{4})}$.

Тук сега залагаме на факта, че макар и да сме забравили всички готини удобни тригонометрични формули, помним поне някои от най-основните: именно за синус/косинус от сбор/разлика.

И така:
$\cos(t + \frac{\pi}{4}) = cost\cdot cos\frac{\pi}{4} - sint\cdot sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}(cost-sint)$

$tg(t+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(t + \frac{\pi}{4})}{\cos(t + \frac{\pi}{4})} = \dots = \frac{sint + cost}{cost - sint}$

Като заместим горе, получаваме:

$2L = \lim_{t\to 0}\frac{cost-sint-1}{1 - \frac{sint + cost}{cost - sint}} = \lim_{t\to 0}\frac{cost-sint-1}{\frac{cost-sint-sint-cost}{cost-sint}} = \lim_{t\to 0}\frac{(cost-sint)(cost-sint-1)}{-2sint}$

За щастие обаче първият множител в чистилетя си клони точно към 1, т.е. $\lim_{t\to 0}(cost - sint) = 1$, така че директно правим прехода там и забравяме за него.

Като разкараме и константния множител -2 от знаменателя, достигаме до:

$-4L = \lim_{t\to 0}\frac{cost-sint-1}{sint} = -1 + \lim_{t\to 0}\frac{cost - 1}{sint}$

Или просто:

$1 - 4L = \lim_{t\to 0}\frac{cost - 1}{sint}$

Дотук би следвало да сме го докарали достатъчно до основни познания, останалата вдясно граница би трябвало да може да довърши и читателят сам. В случай на затруднения, може да се потърси някъде из основните задачи. Можем да подскажем все пак, че резултатът отдясно е 0 и в крайна сметка $\boxed{L = \frac{1}{4}}$.

[S.B.]

Чудесно решение!Поздравления Davids!

[Гост]

Здравейте, на предпоследния ред от решението Ви как извадихте -1 пред границата? В училище в момента учим граници, но не сме решавали задачи с полагане (нито Лопитал) и Вашето решение ми се стори доста интересно и разбираемо... без предпоследния ред.

[Davids]

А сега де, най-лесното да Ви събори!
Чисто аритметично преобразувание, без никакви гранични преходи:

$\frac{cost - sint - 1}{sint} = \frac{-sint} {sint} + \frac{cost - 1}{sint}$.

Моментът с изкарването пред граница вече е фактът, че $\lim_{x\to a} (c + f(x)) = c + \lim_{x\to a} f(x) $, което в училище подозирам, че не се доказва супер формално, но си е "свойство на аритметиката с граници", което може да се докаже от първи принципи. Но на нас ни стига и на интуитивно ниво - ясно е, че константно отместване не променя граничното поведение на функцията, само го отмества константно.