Задача ДЗИ от вероятности

[Гост]

20240501_093440.jpg (331.97 KiB) Прегледано 2841 пъти

[Гост]

Струва ми се, че това не може да бъде функция на плътността на разпределение, понеже не клони към нула при х клонящо към безкрайност, а по скоро е функция на разпределението, която е интеграл от функцията на плътността и се означава не с f(x), а с F(x). Просто трябва да определим стойността на с така, че F(x) да е монотонно растяща, т.е. $F(1)\geq0$ и $F(2)\leq1$ и $F(x)=cx\geq0$ за $x\in[1;2]$

$\begin{array}{|l}F(1)\geq0\\F(2)\leq1\\c\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}c.1\geq0\\c.2\leq1\\c\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}c\geq0\\c\leq\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow c\in\left[0;\frac{1}{2}\right]$

Значи верен е отговор Г)

[Гост]

Струва ми се, че това не може да бъде функция на плътността на разпределение, понеже не клони към нула при х клонящо към безкрайност, а по скоро е функция на разпределението, която е интеграл от функцията на плътността и се означава не с f(x), а с F(x). Просто трябва да определим стойността на с така, че F(x) да е монотонно растяща, т.е. $F(1)\geq0$ и $F(2)\leq1$ и $F(x)=cx\geq0$ за $x\in[1;2]$

$\begin{array}{|l}F(1)\geq0\\F(2)\leq1\\c\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}c.1\geq0\\c.2\leq1\\c\geq0\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}c\geq0\\c\leq\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow c\in\left[0;\frac{1}{2}\right]$

Значи верен е отговор Г)

Поправка: нямах предвид $F(x)=cx\geq0$ за $x\in[1;2]$, а $F(x)=cx$ - ненамаляваща за $x\in[1;2]$

[Гост]

Като верен отговор посочват В)

[Гост]

Значи в условието е сгрешена само една цифра и функцията на разпределение е $f(x)=\begin{cases}0;x<1\\cx;1\leq x\leq2\\0;x>2\end{cases}$

За да намерим с, трябва да нормализираме f(x), т.е. да приравним интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ на единица.

Получаваме уравнението $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\Rightarrow\int_{-\infty}^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx+\int_2^{\infty}f(x)dx=1\Rightarrow0+\int_1^2cxdx+0=1\Rightarrow c\cdot\frac{x^2}{2}\begin{array}{|l}2\\1\end{array}=1\Rightarrow\frac{c}{2}(2^2-1^2)=1\Rightarrow\frac{3c}{2}=1\Rightarrow c=\frac{2}{3}$

[Гост]

Значи в условието е сгрешена само една цифра и функцията на плътността е $f(x)=\begin{cases}0;x<1\\cx;1\leq x\leq2\\0;x>2\end{cases}$

За да намерим с, трябва да нормализираме f(x), т.е. да приравним интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ на единица.

Получаваме уравнението $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\Rightarrow\int_{-\infty}^1f(x)dx+\int_1^2f(x)dx+\int_2^{\infty}f(x)dx=1\Rightarrow0+\int_1^2cxdx+0=1\Rightarrow c\cdot\frac{x^2}{2}\begin{array}{|l}2\\1\end{array}=1\Rightarrow\frac{c}{2}(2^2-1^2)=1\Rightarrow\frac{3c}{2}=1\Rightarrow c=\frac{2}{3}$

[Гост]

Ако интегрирането Ви затруднява, трябва просто да си представите графиката на $y=f(x)$ - стойността на търсения интеграл е лицето на правоъгълния трапец с основи $c.1$ и $c.2$ - ординатите на точките от графиката с абсциси 1 и 2, и височина $2-1=1$ - разстоянието мужду двете абсциси. Получава се $S=\frac{c+2c}{2}\cdot(2-1)=\frac{3c}{2}$

[Гост]

Вероятности.png (90.66 KiB) Прегледано 2802 пъти

[Гост]

Благодаря от сърце!

[Гост]

То много хубаво, ама това $f(2)=\frac{4}{3}$ не уйдисва нито като за плътност, нито като за функция на разпределение.

[Гост]

И какво пречи $f(x)=\begin{cases}0;x<1\\\frac{2x}{3};1\leq x\leq2\\0;x>2\end{cases}$? Тогава $F(x)=\begin{cases}0;x<1\\\frac{x^2-1}{3};1\leq x\leq2\\1;x>2\end{cases}$

[Гост]

То много хубаво, ама това $f(2)=\frac{4}{3}$ не уйдисва нито като за плътност, нито като за функция на разпределение.

Функцията на разпределение не може да приеме стойност, по-голяма от 1, но на функцията на плътността на разпределението нищо не й пречи, стига да е в достатъчно къс интервал от стойности на х.

[Гост]

Ами пречи и това, че тя също изразява вероятност. Пък и логиката ми подсказва, че винаги в сила е следното: $f(x) \le F(x)$

[Гост]

Погледнах си в учебника - "Изразът $f(x)dx$ се нарича елементарна вероятност." Значи имаме $0\leq f(x)dx\leq1$ и тук за $dx$ по всички канони на анализа имаме единствено ограничение $dx>0$. Значи за $f(x)$ като ограничение получаваме единствено $f(x)>0$

[Гост]

Погледнах си в учебника - "Изразът $f(x)dx$ се нарича елементарна вероятност." Значи имаме $0\leq f(x)dx\leq1$ и тук за $dx$ по всички канони на анализа имаме единствено ограничение $dx>0$. Значи за $f(x)$ като ограничение получаваме единствено $f(x)>0$

Всъщност $dx$ не може да е $0$, но $f(x)dx$ може и да е $0$, значи $f(x)\geq0$.

[Гост]

Може би спорът тук опира до интерпретация на термина. Ти с каква семантична дефиниця за "функция на плътността" работиш?

[Гост]

$f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{P\left(x\leq X<x+\Delta x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}$

[Гост]

Грубо казано - "скоростта на нарастване на функцията на разпределение".

[Гост]

Вероятностно разпределение.png (92.12 KiB) Прегледано 2749 пъти

Вижда се, че стойността на $f(x)$ задава скоростта на нарастване на $F(x)$

[Гост]

Прав(а) си. Грешката е моя. Работя с дефиницията за плътност при дискретна случайна величина.