Пирамида

[Гост]

Може ли някои да помогне за решаването на тази задача (математика ПП)

Правилна четириъгълна пирамида MABCD има основен ръб AB=2cm и околен ръб AM =√5. Колко квадратни сантиметра е лицето на вписаната в пирамидата сфера.

[S.B.]

Може ли някои да помогне за решаването на тази задача (математика ПП)

Правилна четириъгълна пирамида MABCD има основен ръб AB=2cm и околен ръб AM =√5. Колко квадратни сантиметра е лицето на вписаната в пирамидата сфера.

Без заглавие - 2024-12-13T114714.616.png (299.86 KiB) Прегледано 1583 пъти

[tex]M M_{1 } \bot AD, M M_{2 } \bot BC[/tex] са апотемите на стените $(ADM)$ и $(BCM)$ на пирамидата като[tex]MM_{1 } = M M_{2 }[/tex] (ЗАЩО?)
За правоъгълния [tex]\triangle M M_{2 }C[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]М М_{2 } ^{2 } = MC^{2 } - C M_{2 } ^{2 } \Leftrightarrow M M_{2 } ^{2 } = \sqrt{5} ^{2 } - 1^{2 } \Leftrightarrow M M_{2 } ^{2 } = 4 \Rightarrow M M_{2 } = 2[/tex]
Сечението[tex]( М_{1 } М_{2 }М)[/tex] е равностранния [tex]\triangle М_{1 } М_{2 }М[/tex] със страна $= 2$
$MH$ е височина,медиана и ъглополовяща в [tex]\triangle M_{1 } M_{2 }M , MH = \frac{2 \sqrt{3} }{2} \Rightarrow MH = \sqrt{3}[/tex]
Центърът на вписаната окръжност т.$O$ е пресечна точка на ъглополовящите,но тъй като триъгълникът е равностранен т.$O$ съвпада с медицентъра на триъгъгълника.
[tex]\frac{MO}{OH} = \frac{2}{1} , OH = r \Rightarrow r = \frac{1}{3}.MH \Rightarrow r = \frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]

[tex]S_{сф. } = 4 \pi r^{2 } \Leftrightarrow S_{сф. } = 4 \pi ( \frac{ \sqrt{3} }{3}) ^{2 }[/tex]
$$\Rightarrow S_{сф. } = \frac{4}{3} \pi cm^{2 } $$