Задача от ДЗИ-ПП 2023 г

[Гост]

Може ли някой да помогне при решаването на задача с това условие:
Дадени са пет тела: четири еднакви правилни зара със съответно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки върху стените им и един правилен тетраедър със съответно 1, 2, 3 и 4 точки върху стените му. Избираме едно от телата, хвърляме го и се падат 3 точки. Каква е вероятността да сме избрали зар?
Задачата е от матура-профил от 25 август 2023 г.

[peyo]

Може ли някой да помогне при решаването на задача с това условие:
Дадени са пет тела: четири еднакви правилни зара със съответно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки върху стените им и един правилен тетраедър със съответно 1, 2, 3 и 4 точки върху стените му. Избираме едно от телата, хвърляме го и се падат 3 точки. Каква е вероятността да сме избрали зар?
Задачата е от матура-профил от 25 август 2023 г.

Ще решим тази задача по метода който аз наричам метода на средната вероятност с тежести (макар да няма средно или тежести).

[tex]p = \frac{ 4 \cdot \frac{1}{6} }{ 4 \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{4} }[/tex]

In [43]: (4*(1/6))/(4*(1/6) + 1/4)
Out[43]: 0.7272727272727273



Асоциацията идва от това как да разберем средно с колко една вероятност е по-тежка от друга вероятност, което е особено трудно, защото вероятностите са безразмерни величини и нищо не тежат. От друга страна понякога и фотоните имат маса когато се блъснат в нещо... Хммм ... Формално решение предполагам можем да намерим с квантова математика.

[pal702004]

Формално задачата се решава с теоремата на Бейс. Вероятността е

$\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}+\frac 1 8}=\dfrac 2 5=0.4$

[peyo]

Формално задачата се решава с теоремата на Бейс. Вероятността е

$\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}+\frac 1 8}=\dfrac 2 5=0.4$

Според теб е по-вероятно да сме избрали тетраедъра? Това не ми прилича да е вярно. Ще трябва да пишем симулация.

[peyo]

Формално задачата се решава с теоремата на Бейс. Вероятността е

$\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}+\frac 1 8}=\dfrac 2 5=0.4$

Според теб е по-вероятно да сме избрали тетраедъра? Това не ми прилича да е вярно. Ще трябва да пишем симулация.

Ok, да видим и симулацията:

Код: Избери целия код

from random import choice

p,n,N = 0,0, 10000000
Bx = [ list(range(1,7)) for a in range(4) ] + [list(range(1,5))]
for i in range(N):
    body = choice(Bx)
    digit = choice(body)
    if digit == 3:
        n+=1
        if len(body)==6:
            p+=1
print(p/n)


0.7270627909134068

Моето решение изглежда да е най-вярното от всички до момента.

Преди години четох една статия за това как да правим класификация с приложение на формулата на Бейс и единственото, което си спомням беше, че автора беше намерил, че е по-добре да замени дългата верига с умноженията във формулата на Бейс със събиране на логаритмите им и така по-бавно уж губел точност.

[pal702004]

А, телата са 5. Не прочетох правилно условието. Решението ми е за за един зар и един тетраедър.

[batsev]

Е тетраедъра е с по-голямата вероятност да се случи събитието, нормално е той да е по-вероятен при вече случило се събитие.

[pal702004]

Е тетраедъра е с по-голямата вероятност да се случи събитието, нормално е той да е по-вероятен при вече случило се събитие.

При равен брой зарове и тетраедри. Но в условието заровете са повече на брой.

Вероятността е $\frac{8}{11}$

[batsev]

Е тетраедъра е с по-голямата вероятност да се случи събитието, нормално е той да е по-вероятен при вече случило се събитие.

При равен брой зарове и тетраедри. Но в условието заровете са повече на брой.

Вероятността е $\frac{8}{11}$

Мда, някой не е прочел внимателно условието , за което се извинявам. В случая си абсолютно прав, 8/11 е.

[Gruicho]

И защо толкова сложно?
Ако се беше паднало 5 или 6 вероятността да е зар е 100% (а тераедър - 0)
След като се е паднало 3, значи може да е зар , може тетраедър. Имаме 5 тела, 4 зара - вероятността да изберем зар е 4/5.
Не се пита в задачата каква е вероятността да се хвъръли 3... Или?

[ammornil]

$ P(\text{"зар"}\cap{}3)=\frac{4}{5}\cdot{}\frac{1}{6}=\frac{2}{15} $

[pal702004]

$ P(\text{"зар"}\cap{}3)=\frac{4}{5}\cdot{}\frac{1}{6}=\frac{2}{15} $

$P(\text{"тетраедър"}\cap{}3)=\frac{1}{5}\cdot{}\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$

И тук тъпото е, че $\frac{2}{15}+\frac{1}{20} \ne 1$, което е абсолютно задължително при "пълна група от събития". И тук идва пропорционалното им увеличаване.

Ако вероятностите, които изчислихме са $p_1,p_2$, то новите (след като сме научили допълнителната информация) Стават

$P_1=\frac{p_1}{p_1+p_2},\; P_2=\frac{p_2}{p_1+p_2}$

Така и сборът им е 1, и отношението се запазва. Общо взето, формулата на Бейс за условна вероятност.

[Гост]

$ P(\text{"зар"}\cap{}3)=\frac{4}{5}\cdot{}\frac{1}{6}=\frac{2}{15} $

Gruicho е прав за 4/5 нали? Тройката не ни интересува.

[batsev]

$ P(\text{"зар"}\cap{}3)=\frac{4}{5}\cdot{}\frac{1}{6}=\frac{2}{15} $

Gruicho е прав за 4/5 нали? Тройката не ни интересува.

Е как ще е прав, след като се въпросът е "след като се е паднало 3, какъв е шанса да е от зар". Нали, ако се бе паднало 6, директно става ясно, че 100% е от зар.

[Гост]

Е как ще е прав, след като се въпросът е "след като се е паднало 3, какъв е шанса да е от зар". Нали, ако се бе паднало 6, директно става ясно, че 100% е от зар.

Въпросът НЕ е "след като се е паднало 3, какъв е шанса да е от зар".Въпросът е: Избираме едно от телата, хвърляме го и се падат 3 точки. Каква е вероятността да сме избрали зар? Ако махнем подчертаното, каква е вероятността? Какво се е паднало няма отношение към избора 4/5. Фактът, че не е 5 или 6 показва, че може и да е тетраедър.

[pal702004]

Ако махнем подчертаното

По предварителни прогнози, вероятностите за изхода на футболен мач са:
Победа на домакина - 0,7, равен - 0,2, победа на гостите - 0,1.
Пет минути преди края на мача гостите водят 0:2

Ако махнем подчертаното....или да не го махаме?

[Гост]

Ако махнем подчертаното

По предварителни прогнози, вероятностите за изхода на футболен мач са:
Победа на домакина - 0,7, равен - 0,2, победа на гостите - 0,1.
Пет минути преди края на мача гостите водят 0:2

Ако махнем подчертаното....или да не го махаме?

Този пример не е удачен!

[peyo]

[quot]Ако махнем подчертаното[/quot]По предварителни прогнози, вероятностите за изхода на футболен мач са:
Победа на домакина - 0,7, равен - 0,2, победа на гостите - 0,1.
Пет минути преди края на мача гостите водят 0:2

Ако махнем подчертаното....или да не го махаме?

Този пример не е удачен!

Мисля, че говоря от името на почти всички тук, че вече не знаем за какво спорите. Но като стана дума за глупави примери си спомням за епизод от сериала Малкълм ин дъ мидъл където паостора твърдеше, че вероятността бог да съществува е 50%, защото или го има или го няма за което Малълм даде подходящ контра пример.

[pal702004]

За особено надарените:
Провеждаме експеримента 60 пъти.
От тях средно 48 пъти ще е избран зар, от кото средно 8 пъти ще се пада тройка.
Средно 12 пъти ще е избран тетраедър, от които средно 3 пъти тройка.
Следим внимателно ръцете: Ще се паднат средно 8+3 тройки, от които 8 от зара и 3 от тетраедъра.

[Гост]

За особено надарените:
Провеждаме експеримента 60 пъти.
От тях средно 48 пъти ще е избран зар, от кото средно 8 пъти ще се пада тройка.
Средно 12 пъти ще е избран тетраедър, от които средно 3 пъти тройка.
Следим внимателно ръцете: Ще се паднат средно 8+3 тройки, от които 8 от зара и 3 от тетраедъра.

И какво ни каза с тези сметки? Че от 60 пъти средно ще е избран зар 48 пъти, което удивително съвпада с Груйчовите 4/5 = 48/60. В условието никой не пита и не иска да се смята вероятността за падане на тройка, какъв е тоя зор... Горките ученици! Коскоджамити математици умуват, а какво е било на матурата...

[pal702004]

Господи, пази България от дебили!

[ammornil]

За особено надарените:
Провеждаме експеримента 60 пъти.
От тях средно 48 пъти ще е избран зар, от кото средно 8 пъти ще се пада тройка.
Средно 12 пъти ще е избран тетраедър, от които средно 3 пъти тройка.
Следим внимателно ръцете: Ще се паднат средно 8+3 тройки, от които 8 от зара и 3 от тетраедъра.

И какво ни каза с тези сметки? Че от 60 пъти средно ще е избран зар 48 пъти, което удивително съвпада с Груйчовите 4/5 = 48/60. В условието никой не пита и не иска да се смята вероятността за падане на тройка, какъв е тоя зор... Горките ученици! Коскоджамити математици умуват, а какво е било на матурата...

Това, че Вие не намирате смисъл в дадено изказване, на означава че никой друг не намира смисъл в него.
Колегата удобно е избрал [tex]60[/tex] за брой опити, защото се дели на голям брой делители без остатък.
Имаме [tex]4[/tex] куба и [tex]1[/tex] тетраедър. Статистически, вероятността да изберем куб е [tex]\frac{4}{5}[/tex], което значи че за група от [tex]60[/tex] опита, [tex]\frac{4}{5}\cdot{}60=48[/tex] ще изберем куб, а в оставащите [tex]12[/tex] ще изберем тетраедър. Пак статистически, понеже кубът има [tex]6[/tex] стени от които само една има три точки, вероятността при избран куб да се падне [tex]3[/tex] е [tex]\frac{1}{6}[/tex], което при вече определени [tex]48[/tex] опита с куб, прави [tex]\frac{1}{6}\cdot{}48=8[/tex] тройки. Тетраедърът има [tex]4[/tex]стени, значи вероятността да се падне [tex]3[/tex] при [tex]12[/tex] хвърляния e [tex]\frac{1}{4}\cdot{}12=3[/tex].

Така по-ясно ли е от къде идват числата в чудесно-илюстративния пример на колегата?

п.с. Аз не съм математик, но съм учил достатъчно математика, за да знам колко малко знам от нея и да уважавам труда на тези, които са посветили труда на живота си да познават повече в тази област. Зад реализацията на всяко теоретично и практическо научно постижение стои трудът на математици (преподаватели и практици в приложната математика), чиито имена често са само редове в публикация, но без техните познания, публикацията не би имала същия принос.