Зад. 15 - ДЗИ-ПП 2023 г

[Гост]

Тази задача е давана на матура - профил 2023. Може ли някой да помогне
Условието е
Математическото очакване на една нормално разпределена случайна величина X е 400 , а стандартното отклонение 36 . Тогава интервалът около математическото очакване, в който случайната величина X попада с вероятност 95% , е:
A) [328; 472]; Б) [364; 436]; В) [292; 508]; Г) [388; 412]

[ammornil]

Математическото очакване на една нормално разпределена случайна величина X е 400 , а стандартното отклонение 36 . Тогава интервалът около математическото очакване, в който случайната величина X попада с вероятност 95% , е:
A) [328; 472]; Б) [364; 436]; В) [292; 508]; Г) [388; 412]

$\\[24pt]$Като гледам отговорите, нито един не ми изглежда верен. Първият е при увереност $2\sigma{}$, вторият при $1\sigma{}$, третият при $\frac{1}{4}\sigma{}$, а последният при $\frac{1}{3}\sigma{}$. Според мен отклонението за 95% увереност (в зависимост от избрания модел на оценка) е или $1,65\sigma{}$, или $1,96\sigma{}$. Отговор А е най-близо до истината.

Скрит текст: покажи

$\\[12pt] \text{z}\approx{} 1,645 \quad $ 95[%] увереност около средната стоност при Гаусово нормално разпределение $\\[6pt] \mu{}=400, \quad \sigma{}=36, \quad P=95[\%]=\frac{95}{100}=0.95 \\[6pt] \epsilon{}=z\cdot{}\sigma{}=1,645\cdot{}36=59,22\\[6pt] S(X | P=95[\%])=\mu{}\pm{}\epsilon{}=(\mu{}-\epsilon{}; \mu{}+\epsilon)=(400-59,22;400+59,22)$ $$ S(X | P=95[\%]) \equiv(340,78;459,22) $$

Забележка: z отчита неравността на вероятностното разпределение, $\\[6pt] z=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}-n\cdot{}\mu{}}{\sigma{}\cdot{}\sqrt{n}} \\[6pt] $ таблица за единица нормална маса

Отчетената стойност за z е при $P=0,95\pm{}0,0005$. Ако по конвенция очакването за 95% сигурност (увереност) разчита на 2,5% горен маржин, то $z\approx{}1,96$ при $P=0,975$, което ще даде различен интервал $ 400\pm{}70,56 $. В този случай $$ S(X | P=95[\%]) \equiv(329,44;470,56) $$