Биномно разпределение

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тази задача?

В съд има 1 зелена и 3 сино топки. От съда изваждаме една топка и след отбелязване на цвета, я връщаме обратно в съда. Ако повторим опита 3 пъти, намерете разпределението на случайната величина, която е равна на броя на извадените сини топки и опрделете нейното математическо очакване и дисперсия.

[ammornil]

Това е "по учебник" биномно разпределение. В учебниците по статистика, стандартните модели на представяне на случйни дискретни величини (поне по мое време) ги даваха един след друг (Бернули, Биномна, Поасон, и т.н.). Във вашия случай учебникът казва, че $$P(X=k)={{n}\choose{k}}\cdot{}p^{k}\cdot{}(1-p)^{n-k}, \begin{cases} P_{k}=p=\dfrac{3}{4} \\ n=3 \\ k=\{0, 1, 2, 3\} \end{cases}$$ $\\[6pt] k=0 \Rightarrow P(X=0)={{3}\choose{0}} \cdot{} \left(\dfrac{3}{4} \right)^{0}\cdot{}\left(1-\dfrac{3}{4}\right)^{3-0}= \cdots{}= \dfrac{1}{64} \\[6pt] k=1 \Rightarrow P(X=1)={{3}\choose{1}} \cdot{} \left(\dfrac{3}{4} \right)^{1}\cdot{}\left(1-\dfrac{3}{4}\right)^{3-1}= \cdots{}= \dfrac{9}{64} \\[6pt] k=2 \Rightarrow P(X=2)={{3}\choose{2}} \cdot{} \left(\dfrac{3}{4} \right)^{2}\cdot{}\left(1-\dfrac{3}{4}\right)^{3-2}= \cdots{}= \dfrac{27}{64} \\[6pt] k=3 \Rightarrow P(X=3)={{3}\choose{3}} \cdot{} \left(\dfrac{3}{4} \right)^{3}\cdot{}\left(1-\dfrac{3}{4}\right)^{3-3}= \cdots{}= \dfrac{27}{64} \\[6pt] E(X)=n\cdot{}p= \cdots{}= 2\dfrac{1}{4} \\[6pt] D(X)= n\cdot{}p\cdot{}(1-p)= \cdots{}= \dfrac{9}{16} \\[6pt] \sigma_{X}= \sqrt{D(X)}= \dfrac{3}{4}$ $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline i&1&2&3&4 \\ \hline x_{i}&0&1&2&3 \\ \hline \\ P(X=x_{i})&\dfrac{1}{64}&\dfrac{9}{64}&\dfrac{27}{64}&\dfrac{27}{64} \\ \\ \hline \end{array} $$ $\\[12pt]$ Забелажка: Указаните формули за очакване и дисперсия са частен случай, верни за конкретния модел. В общия случай: $\\[6pt] E(X)=\sum_{i=1}^{n}{\left[x_{i}\cdot{}p(x_{i}) \right]}, \quad D(X)=\sum_{i=1}^{n}{\left[x_{i}^{2}\cdot{}p(x_{i})\right]}, \quad \sigma_{X}= \sqrt{D(X)} \\[24pt]$

Скрит текст: покажи

Биномните случайни величини са изключително полезни при вероятностното моделиране, когато се моделира броят на положителните резултати от n опити за експеримент, където вероятността за успех във всеки опит остава непроменена. Можем да ги раглеждаме като развитие на модел на Бернули променлива със същия параметър, но отнесени към определен брой повторения.$\\[6pt] \sigma_{X}$ е означение за стандартно отклонение от очакването.