Функции

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете с тези две задачи?

1. Стойностите на реалното число к, за което функцията е монотонно растяща за всяка стойност на аргумента, са: Отг: х[tex]\in[/tex] (-1;1) с квадратни скоби. Въпросът ми е защо скобите са квадратни, а не кръгли. Не търсим ли дискриминантата да е <0

2.Графиката на коя от функциите е симетрична спрямо началото на координатната система?
А) [tex]\frac{2(х-1)}{х+1}[/tex]
Б) [tex]x^{3 }[/tex] - [tex]x^{2 }[/tex] - х - 1
В) х[tex]\sqrt{1- x^{2 } }[/tex]
Г) 2[tex]е^{ \frac{- x^{2 } }{6} }[/tex]
На тази задача въобще не знам как да подходя.

[Гост]

Функцията от първа задача е х^3 + 3кх^2 +3х

[ammornil]

Според мен разсъждението Ви е правилно. Ако затворим интервала получаваме ненамаляваща функция, но тук се иска строго растяща, следователно не бива да затваряме интервала.$\\[12pt]f(x)=x^{3}+3kx^{2}+3x\\[6pt] f'(x)= 3x^{2}+6kx+3 >0 \Rightarrow x^{2}+2kx+1>0 \Rightarrow k^{2}-1<0\\[6pt] (k-1)(k+1)<0 \Rightarrow k\in{}\begin{pmatrix}-1;1 \end{pmatrix}$

[ammornil]

(2) Покажете за коя функция е изпълнено $f(-x)= -f(x), \hspace{0.5em} \forall{x}\in{}\mathbb{R}\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$\begin{array}{clcl} (А)& f(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1}& \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow} & \dfrac{2(-x-1)}{-x+1}=-\left( \dfrac{2(x-1)}{x+1} \right) \\[6pt] && \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow}&\dfrac{-2x-2}{1-x}\ne{}\dfrac{-2x+1}{1+x} \\[24pt] (Б)&f(x)=x^{3}-x^{2}-x-1& \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow} & (-x)^{3}-(-x)^{2}-(-x)-1=-(x^{3}-x^{2}-x-1) \\[6pt] && \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow}& -x^{3}-x^{2}+x-1\ne{} -x^{3}+x^{2}+x+1 \\[24pt] (В) & f(x)=x\sqrt{1-x^{2}} & \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow}& -x\sqrt{1-(-x)^{2}} = -(x\sqrt{1-x^{2}}) \\[6pt] && \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}}{\longrightarrow}& \boxed{ \quad \red{ -x\sqrt{1-x^{2}} = -x\sqrt{1-x^{2}} } \quad } \\[24pt] (Г) & f(x)=2e^{^{\frac{-x^{2}}{6}}} & \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow} & 2e^{^{\frac{-(-x)^{2}}{6}}} = -\left(2e^{^{\frac{-x^{2}}{6}}} \right) \\[6pt] & & \overset{\forall{x}\in{}\mathbb{R}?}{\longrightarrow} & 2e^{^{\frac{-x^{2}}{6}}} \ne -2e^{^{\frac{-x^{2}}{6}}} \end{array} $

[Гост]

Благодаря, тоест за втората искаме функцията да е нечетна?

[ammornil]

Благодаря, тоест за втората искаме функцията да е нечетна?

Да.

[Гост]

За първата задача се иска функцията $f(x)$ да бъде монотонно растяща за всяко реално х. Ако първата производна $f'(x)>0$ за $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ и $f'(-1)=f'(1)=0$, $f(x)$ пак може да е монотонно растяща по определението $f(x_1)<f(x_2)$ за всеки две реални $x_1$ и $x_2$, за които $x_1<x_2$, понеже първата производна става нула в изолирани точки, а не в интервал.