Ротация

[Гост]

Здравейте, срещнах затруднения в тази задача и ще съм много благодарна, ако някой ми помогне с решението ѝ.

[ammornil]

Screenshot 2025-03-09 211338.png (30.33 KiB) Прегледано 2147 пъти

$\\[12pt] ABCD, AB\|CD, AB>CD, \quad AD=CD=BC=6[cm], \quad \angle{ABC}= \angle{BAC}= 45^{\circ} \\[12pt]$ Тялото, което се образува при описаното завъртане на трапеца е прав кръгов конус, в който е издълбан по-малък прав кръгов конус, и основите на двата прави кръгови конуса имат общ център и лежат в една и съща равнина. Повърхнината на полученото тяло е сборът от повърхнините на двата прави кръгови конуса минус лицето на основата на по-малкия конус. Нека първо намерим елементите на дадения трапец (на чертежа в дясно). $ \\[6pt] \begin{cases} DD_{1}\bot{}AB, (D_{1}\in{}AB) \\ CC_{1}\bot{}AB, (C_{1}\in{}AB) \end{cases} \Rightarrow CC_{1}\overset{\|}{=}DD_{1} \\[6pt] \because{}\begin{cases} CC_{1}\|DD_{1} \\ CD\| C_{1}D_{1} \end{cases} \Rightarrow C_{1}D_{1}= CD= 6[cm] \\[6pt] \triangle{AD_{1}D}, \angle{AD_{1}D}=90^{\circ}, \angle{D_{1}AD}= 45^{\circ} \Rightarrow \angle{ADD_{1}}= 45^{\circ} \Rightarrow AD_{1}= DD_{1}= AD\cdot{}\cos{}45^{\circ}= 3\sqrt{2}[cm]\\[6pt] \text{Аналогично в } \triangle{BC_{1}C} \rightarrow BC_{1}=CC_{1}= 3\sqrt{2}[cm] \\[6pt] \because{}\begin{cases} CC_{1}\|DD_{1} \\ C_{1}D_{1}\|CD \end{cases} \Rightarrow C_{1}D_{1}= CD= 6[cm] \Rightarrow AB= AD_{1}+ D_{1}C_{1} +C_{1}B= 6(1+\sqrt{2})[cm]\\[6pt]$ Минаваме не чертежа в ляво... $\\[6pt] \triangle{DCD'}, \angle{DCD'}=90^{\circ}, DC=CD'=6[cm] \Rightarrow DD'= 6\sqrt{2}[cm] \Rightarrow DO= 3\sqrt{2}[cm] \Rightarrow AO= 3(2 +\sqrt{2})[cm] \\[6pt] AO^{2}= 9(2+\sqrt{2})^{2}= 9(4 +4\sqrt{2} +2)= 36(1+\sqrt{2}) \\ AO\cdot{}AB= (6+3\sqrt{2})(6+6\sqrt{2})= 36 +36\sqrt{2} +18\sqrt{2} +36= 72 +54\sqrt{2} \\ DO^{2}= 18 \\ DO\cdot{}DC= 3\sqrt{2} \cdot{}6= 18\sqrt{2} \\[6pt] S_{1_{ABA'}}= \pi\cdot{}AO^{2} +\pi\cdot{}AO\cdot{}AB \\[6pt] S_{1_{DBD'}}= \pi\cdot{}DO^{2} +\pi\cdot{}DO\cdot{}DC \\[6pt] S_{1e}= S_{1_{ABA'}} +S_{1_{DBD'}}- B_{_{DBD'}}= \pi\cdot{}AO^{2} +\pi\cdot{}AO\cdot{}AB +\pi\cdot{}DO^{2} +\pi\cdot{}DO\cdot{}DC -\pi\cdot{}DO^{2}= \pi\cdot{}AO^{2} +\pi\cdot{}AO\cdot{}AB +\pi\cdot{}DO\cdot{}DC \\[6pt] S_{1e}= (36+36\sqrt{2})\pi + (72 +54\sqrt{2})\pi +18\sqrt{2}\pi= (108 +108\sqrt{2})\pi= 108(1+\sqrt{2})\pi[cm^{2}]$ $$\text{Отг.}\quad \text{Г}$$

[Гост]

Отговорът в учебника е в) 180(корен от 2 +1)пи ст^2, но и аз намирам, че е г)

[Гост]

Отговорът в учебника е в) 180(корен от 2+1)пи ст^2, но и аз намирам, че е г)

[ammornil]

Според мен това е отговорът: $108(\sqrt{2}+1)\pi$