Профилирана подготовка - задачи за ДЗИ

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основа ABCD и AB = корен от 2 AA1. Точка M е средата на ръба DD1, а точка K дели отсечката AC в отношение 1:3, считано от точка A.
а) Постройте сечението на призмата с равнина, минаваща през точки A, M, C1
б) Определете взаимното положение на правата A1K и равнината (AMC1).
в)Намерете ъгъла между A1K и равнината (AMC1)

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна призма ABCDA1B1C1D1 с основа ABCD и AB = корен от 2 AA1. Точка M е средата на ръба DD1, а точка K дели отсечката AC в отношение 1:3, считано от точка A.
а) Постройте сечението на призмата с равнина, минаваща през точки A, M, C1
б) Определете взаимното положение на правата A1K и равнината (AMC1).
в)Намерете ъгъла между A1K и равнината (AMC1)

Без заглавие - 2025-05-10T190721.862.png (397.33 KiB) Прегледано 2167 пъти

[tex]AA_{1 } = h \Rightarrow AB= BC = h \sqrt{2} , \Rightarrow AC = 2h[/tex] (Питагорова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex])
[tex]AK : KC = 1:3 \Rightarrow AK = \frac{1}{4}AC = \frac{h}{2}[/tex]
[tex]A_{1 }K \cap (AM C_{1 }) = P , P \in A C_{1 }[/tex]
За [tex]\triangle PAK :[/tex]
[tex]\angle PAK = \alpha , \angle AKP = \beta , \angle APK = \gamma[/tex]
Търсим [tex]\angle \gamma[/tex]
Разглеждам правоъгълния [tex]\triangle C_{1 }AC[/tex]
[tex]AC = 2h, C C_{1 } = h \Rightarrow A C_{1 } = h \sqrt{5}[/tex] (Питагорова теорема)
[tex]\frac{AC}{A C_{1 } } = \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{2 \sqrt{5} }{5},\sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}[/tex]
Разглеждам правоъгълния [tex]\triangle AK A_{1 }[/tex]
[tex]A A_{1 } = h, AK = \frac{h}{2} \Rightarrow A_{1 }K = \frac{h \sqrt{5} }{2}[/tex](Питагорова теорема)
[tex]\frac{AK}{ A_{1 }K } = \cos \beta \Leftrightarrow \cos \beta = \frac{ \sqrt{5} }{5} , \sin \beta= \frac{2 \sqrt{5} }{5}[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma= 180 ^\circ \Leftrightarrow \gamma = 180 ^\circ -( \alpha + \beta)[/tex]
[tex]\cos \gamma = \cos[180 ^\circ - ( \alpha + \beta)] \Leftrightarrow \cos \gamma = -\cos( \alpha + \beta) = -\cos(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha\sin \beta) =[/tex]
[tex]= -( \frac{2 \sqrt{5} }{5}. \frac{ \sqrt{5} }{5} - \frac{2 \sqrt{5} }{5}. \frac{ \sqrt{5} }{5}) = 0[/tex]
$$\cos \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 90 ^\circ $$

[Гост]

Успоредник със страни 8ст и 6ст и ъгъл между тях 30 градуса е завъртян около по-дългата си страна. Намерете обема на полученото ротационно тяло.

[Гост]

Успоредник със страни 8ст и 6ст и ъгъл между тях 30 градуса е завъртян около по-дългата си страна. Намерете обема на полученото ротационно тяло.

Изключително некоректно е да прикачвате питането си към все още активна тема,по която може би ще има и други мнения!
Никой не Ви пречи да постнете задачата си като отделна,нова тема! Тогава сигурно ще имате отговор и решение,но сега - не!