Профилирана подготовка

[Гост]

Зад.1. Даден е правоъгълен паралепипед ABCDA1B1C1D1, в който AB=6ст, BC=CC1=4ст. Ако точките M и N са среди съответно на ръбовете DD1 и BC, то tg ъгъл NMC е

Зад.2. Успоредник със страни 8ст и 6ст и ъгъл между тях 30 градуса е завъртян около по-дългата си страна. Намерете обема на полученото ротационно тяло.

[Гост]

Наистина се нуждая от помощ и от обяснение на тези две задачи

[ammornil]

Зад.1. Даден е правоъгълен паралепипед ABCDA1B1C1D1, в който AB=6ст, BC=CC1=4ст. Ако точките M и N са среди съответно на ръбовете DD1 и BC, то tg ъгъл NMC е

$\\[12pt] $

Screenshot 2025-05-16 110721.png (40.17 KiB) Прегледано 1797 пъти

$\\[12pt] ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}, \quad p(ABCD)\|p(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}), \quad AA_{1}\|BB_{1}\|CC_{1}\|DD_{1}, \quad AA_{1}\bot{p(ABCD)} \\[6pt] AB= CD= A_{1}B_{1}= C_{1}D_{1} =6,\quad AD =BC =A_{1}D_{1} =B_{1}C_{1}= AA_{1} =BB_{1} =CC_{1} =DD_{1} =4 \\[6pt] M\in{DD_{1}}, DM=MD_{1}, \quad N\in{BC}, BN =NC \\[6pt] \tg{\angle{(MNC)}}=? \\[12pt] $Един начин да решим задачата е да намерим трите страни на $\triangle{MNC}$ и оттам можем да намерим други елементи на триъгълника. $\\[12pt] \triangle{MDC} \begin{cases} \angle{MDC}= 90^{\circ} \\ DC=6 \\MD=2 \end{cases} \Rightarrow MC= \sqrt{DC^{2} +MD^{2}}= 2\sqrt{10} \\[6pt] \triangle{BAD} \begin{cases} \angle{BAC}= 90^{\circ} \\ AB=6 \\AD=2 \end{cases} \Rightarrow BD= \sqrt{AB^{2} +AD^{2}}= 2\sqrt{13} \\[6pt] \triangle{BDC} \rightarrow BN=NC \Rightarrow DN $ е медиана $\\[6pt] \quad \Rightarrow DN= \dfrac{1}{2}\sqrt{2BD^{2} +2CD^{2} -BC^{2}} =\dfrac{1}{2}\cdot{2\sqrt{43}}= \sqrt{43} \\[6pt] \triangle{NDM} \begin{cases} \angle{NDM}= 90^{\circ} \\ DN= \sqrt{43} \\ DM= 2 \end{cases} \Rightarrow MN= \sqrt{DN^{2} +DM^{2}}= \sqrt{47} \\[6pt] \triangle{NMC} \Rightarrow \cos{\angle{MNC}}= \dfrac{MN^{2} +NC^{2} -MC^{2}}{2\cdot{MN}\cdot{NC}}= \dfrac{47 +4 -40}{2\cdot{\sqrt{47}}\cdot{2}}= \dfrac{\quad11\quad}{4\sqrt{47}} =\dfrac{11\sqrt{47}}{188} >0 \\[6pt] \quad \Rightarrow \angle{MNC} < 90^{\circ} \Rightarrow \sin{\angle{MNC}}= +\sqrt{1 -\cos^{2}{\angle{MNC}}}= \dfrac{\sqrt{29657}}{188} \\[6pt] \tg{\angle{MNC}}=\dfrac{\sin{\angle{MNC}}}{\cos{\angle{MNC}}} =\dfrac{\sqrt{47\cdot{631}}}{11\sqrt{47}}= \dfrac{\sqrt{631}}{11} \\[12pt]$ Предвид кривите числа може би имам изчислителна грешка някъде, но това е един метод да се намери търсеното.

[ammornil]

Зад.2. Успоредник със страни 8ст и 6ст и ъгъл между тях 30 градуса е завъртян около по-дългата си страна. Намерете обема на полученото ротационно тяло.

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-05-16 122314.png (27.03 KiB) Прегледано 1795 пъти

$\\[12pt]$Обемът на тялото е обемът на прав кръгов цилиндър с радиус на основата $r= DQ =\dfrac{1}{2}AD$ и височина $h=DC$. Съжалявам, че нямам повече време да Ви покажа в момента защо това е така. Надявам се, чертежът да е достатъчно показателен.$\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$V=\pi\cdot{r^{2}}\cdot{h} =\pi\cdot{3^{2}}\cdot{8}= 72\pi\hspace{0.5em}[cm^{3}]$

$\\[36pt]$P.s.: Забелязвам, че на много места използвате мерна единица $\text{[ст]}$. Това сантиметри ли трябва да представляват? Установени означения за сантиметър са $[cm]$ и $\text{[см]}$, първото са букви от Латинската азбука, а второто от Кирилицата.

[S.B.]

Зад.1. Даден е правоъгълен паралепипед ABCDA1B1C1D1, в който AB=6ст, BC=CC1=4ст. Ако точките M и N са среди съответно на ръбовете DD1 и BC, то tg ъгъл NMC е

Без заглавие - 2025-05-16T162934.810.png (195.46 KiB) Прегледано 1784 пъти

Моето мнение е различно от мнението на колегата

[tex]\begin{cases} BC \bot DC \\ BC \bot C C_{1 }\\DC \cap C C_{1 } = C \end{cases} \Rightarrow BC \bot (DC C_{1 } D_{1 })[/tex]
[tex]BC \bot[/tex] на всяка права лежаща в равнината [tex](DC C_{1 } D_{1 }[/tex]
[tex]MC \in (DC C_{1 } D_{1 } ) \Rightarrow BC \bot MC[/tex]
[tex]N \in BC \Rightarrow NC \bot MC \Rightarrow \angle MCN = 90 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle DCM[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]MC^{2 } = DM^{2 } + DC^{2 } \Leftrightarrow MC^{2 } = 4 + 36 =40 \Rightarrow MC = 2 \sqrt{10}[/tex]
От [tex]\triangle MCN \rightarrow \tg \angle NMC = \frac{NC}{MC} = \frac{2}{2 \sqrt{10} }[/tex]
$$\Rightarrow \tg NMC = \frac{ \sqrt{10} }{10} $$

[Гост]

Много Ви благодаря за помощта