Трапец- профил

[Гост]

За коя стойност на дължината на височината на правоъгълен трапец с остър ъгъл 45 градуса и периметър 4 ст трапецът има най голямо лице?

[ammornil]

За коя стойност на дължината на височината на правоъгълен трапец с остър ъгъл 45 градуса и периметър 4 ст трапецът има най голямо лице?

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-05-14 120818.png (12.83 KiB) Прегледано 1693 пъти

$\\[12pt] ABCD, \quad AB\|CD, \quad AB > CD, \quad AD\bot{AB}, \quad \measuredangle{ABC} =45^{\circ}, \quad P_{ABCD}= 4 \\[6pt] h_{\text{трапец}}=? \rightarrow S_{ABCD}=S_{ABCD_{max}} \\[12pt] AD=h, \quad CD=b \\[6pt] C_{1}\in{AB}, CC_{1}\bot{AB}, \quad CC_{1}=h \\[6pt] \measuredangle{C_{1}CB}= \measuredangle{C_{1}BC}=45^{\circ} \Rightarrow C_{1}B= CC_{1}= h \Rightarrow BC=h\sqrt{2} \\[6pt] AC_{1}CD -\text{правоъгълник } \Rightarrow AC_{1}=b \Rightarrow AB= b+h \\[6pt] P_{ABCD}= CD+DA+AB+BC= b+h+b+h+h\sqrt{2}= 4 \\[6pt] \quad 2b +2h +h\sqrt{2}= 4 \Rightarrow b= \dfrac{4-(2+\sqrt{2})h}{2} \\[12pt] S_{ABCD}= \dfrac{AB+CD}{2}\cdot{AD} \Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac{b+h+b}{2}\cdot{h} \Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac{2b+h}{2}\cdot{h} \\[6pt] \Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac{4-(2+\sqrt{2})h+h}{2}\cdot{h} \Leftrightarrow S_{ABCD}=\dfrac{4-(3+\sqrt{2})h}{2}\cdot{h}\\[12pt] \Rightarrow S(h)= 2h -\dfrac{3+\sqrt{2}}{2}h^{2} \\[6pt] S'(h)= 2 -(3+\sqrt{2})h, \quad \exists{S(h)_{extr}} \Rightarrow S'(h)=0 \Rightarrow h=\dfrac{2}{3+\sqrt{2}}\cdot{\dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}}= \dfrac{2(3-\sqrt{2})}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}= \dfrac{2(3-\sqrt{2})}{7} \\[6pt] S''(h)=-(3+\sqrt{2})<0 \Rightarrow S\left(\dfrac{2(3-\sqrt{2})}{7} \right)= S_{max} $ $$ \quad \text{Отг. }\quad h=\dfrac{6-2\sqrt{2}}{7} $$ Проверете смитките за изчислителни грешки, защото писах директно в LaTeX.

[Darina73]

Тръгнах по друг начин иизразих лицето на трапеца ,като получих
S(h) =2h- [tex]\frac{1+ \sqrt{2} }{2} h^{2 }[/tex]

за отговор h=2([tex]\sqrt{2}[/tex] -1)