Зад. от ДЗИ -2025

[Гост]

Може ли някой да помогне за решаването на долната задача, която е давана на матура от тази година, но без да се използва правилото на Лопитал.
Условието е:

зад. 9 от 2025

zad9-2025.png (4.9 KiB) Прегледано 2516 пъти

[Davids]

$L := \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{1-2cos2x}{2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)} = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{\frac{1}{2}-cos2x}{x-\frac{\pi}{6}} = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-cos2x}{x-\frac{\pi}{6}}$

Сега ползваме формулата за разлика на косинуси: $cosx - cosy = -2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$. Оттук получаваме:

$L = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{-2sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)}{x-\frac{\pi}{6}} = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{2sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right)sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)}{\frac{\pi}{6}-x} = \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}2sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) \lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\frac{sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right)}{\frac{\pi}{6}-x}$

Десният множител е известна граница $\lim_{t\to 0}\frac{sint}{t} = 1$, а в левия множител можем да направим вече граничния преход, тъй като неопределеност вече няма. Получаваме:

$\boxed{L = 2\sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}}$

[S.B.]

Може ли някой да помогне за решаването на долната задача, която е давана на матура от тази година, но без да се използва правилото на Лопитал.
Условието е:

zad9-2025.png

[tex]\lim_{x \to \frac{ \pi }{6} } \frac{1 - 2\cos 2x}{2(x - \frac{ \pi }{6} )} = \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} } \frac{2( \frac{1}{2} -\cos 2x)}{2(x - \frac{ \pi }{6}) } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} } \frac{\cos \frac{ \pi }{3} - \cos 2x }{(x - \frac{ \pi }{6}) } =[/tex]

[tex]= \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} }\displaystyle \frac{-2\sin \frac{ \frac{ \pi }{3} + 2x}{2}.\sin \frac{ \frac{ \pi }{3} - 2x}{2} }{(x - \frac{ \pi }{6} )} = \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} }\displaystyle \frac{- 2\sin( \frac{ \pi }{6}+x)\sin( \frac{ \pi }{6}- x) }{(x - \frac{ \pi }{6}) } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} }\displaystyle \frac{2.\sin( \frac{ \pi }{6}+ x).\sin(x - \frac{ \pi }{6} )}{(x - \frac{ \pi }{6}) } =[/tex]

[tex]= \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} } 2.\sin( \frac{ \pi }{6}+x). \lim_{x \to \frac{ \pi }{6} } \frac{\sin(x - \frac{ \pi }{6}) }{(x - \frac{ \pi }{6}) } = 2.\sin \frac{ \pi }{3} . 1 = 2. \frac{ \sqrt{3} }{2} .1 = \sqrt{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

Използвам формулата за разлика на два косинуса,също така ,че [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1[/tex] и ,че границата от произведението на функции е равна на произведението от границите на тези функции.

[S.B.]

С колегата Davids сме писали заедно.Използвам случая да го поздравя,тъй като отдавна не сме се засичали!

[Гост]

За такива задача със затворен отговор е най-добре да научиш правилото на Лопитал.
Директно си готов за една минута, като не трябва разписване - няма смисъл.

[S.B.]

За такива задача със затворен отговор е най-добре да научиш правилото на Лопитал.
Директно си готов за една минута, като не трябва разписване - няма смисъл.

Така е колега,но явно не сте забелязали,че в условието категорично е отбелязано,че задачата трябва да се реши без да се използва правилото на Лопитал.