Четириъгълник

[antoaneta]

В 4ъг. ABCD AB=6,
ъгълBAC=60,
ъгъл ACD=30 и
ъгъл DAC=75
F среда на AD
T среда на ВС
Лицето на четириъг. е 27
Търси се FT=?

[Гост]

Ако обичате,снимайте условието.

[Darina73]

FT = [tex]\sqrt{36,25} \approx[/tex] 6 ?

[Darina73]

Построяваме CH -височина в [tex]\triangle[/tex]ABC .
Лесно намираме [tex]\angle[/tex]ADC =75[tex]^\circ \Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]DAC е равнобедрен с основа AD
Медианата CF към основата се явява и височина т.е. [tex]\angle[/tex]AFC=90[tex]^\circ[/tex] (1)
По построение [tex]\angle[/tex]AHC=90[tex]^\circ[/tex] (2)
Около AHCF описваме окръжност K( т.O -среда на AC ;R=[tex]\frac{AC}{2}[/tex])
От так зададената т. О [tex]\Rightarrow[/tex] OT е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABC ; OT=[tex]\frac{AB}{2} =3[/tex]
AC=y=? FT=x=?

( [tex]\triangle[/tex]AHC-правоъгълен с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex]) [tex]CH^{2 } +AH^{2 } =AC^{2 } ; CH^{2 } + ( \frac{ y }{2} )^{2 } =y^{2 } ;CH= \frac{y \sqrt{3} }{2}[/tex] (3)
[tex]S_{ABCD }[/tex]=27 ;[tex]S_{ABC } +S_{ACD }[/tex]=27

[tex]\frac{AB.CH}{2}+ \frac{AC.DC.sin30 ^\circ }{2}[/tex]=27

[tex]\frac{1}{2}.6 \frac{y \sqrt{3} }{2} + \frac{y.y. \frac{1}{2} }{2}[/tex]=27 |.4[tex]\ne[/tex]0

[tex]y^{2 }+6 \sqrt{3}y-108 =0 ; k=3 \sqrt{3}[/tex] ,D=27+108=136 =4.34

[tex]y_{1,2 }= \frac{-3 \sqrt{3} \pm2 \sqrt{34} }{1}[/tex] и y>0 ; единственият у=2[tex]\sqrt{34} -3\sqrt{3}[/tex] (4)
[tex]\triangle[/tex]FTO-cos T ,като FO=R=[tex]\frac{AC}{2}= \frac{y}{2}[/tex] (5)

Скрит текст: покажи

Много лесно ще намериш [tex]\angle[/tex]FOT =150[tex]^\circ[/tex]

[tex]FT^{2 } =OT^{2 } +FO^{2 }-2OT.FO.cos150 ^\circ[/tex]

[tex]x^{2 }= 3^{2 } + \frac{ y^{2 } }{4} -2.3. \frac{y}{2}( - \frac{ \sqrt{3} }{2} )[/tex]

[tex]x^{2 }= 9+ \frac{ (2 \sqrt{34}-3 \sqrt{3} )^{2 } }{4} -3(2 \sqrt{34}-3 \sqrt{3})( - \frac{ \sqrt{3} }{2} )[/tex]

[tex]x^{2 }= 9+ \frac{136-12 \sqrt{3.34}+27 }{4} + \frac{3 \sqrt{3} }{2}(2 \sqrt{34} -3 \sqrt{3} )[/tex]

[tex]x^{2 }= 9+ \frac{163-12 \sqrt{3.34} }{4} +3 \sqrt{3.34} - \frac{27}{2}[/tex]

[tex]x^{2 }= 9+40,75 -3 \sqrt{3.34} +3 \sqrt{3.34} -13,5[/tex]

FT =x= [tex]\sqrt{36,25}[/tex]