Задача за ромб

[baroveca]

Здравейте! Има една задача, която не успях да я разбера и затова я пускам тук. Ето я и нея:
Дължините на диагоналите на ромб и дължината на страната му образуват геометрична прогресия.Да се намери синусът на ъгъла между страната на ромба е по-големия диагонал, ако е известно,че острият му ъгъл BAD и по-голям от 60 градуса.
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Няма да пускам черетж.
Да ознаичим:
[tex]\angle BAD=\alpha >60^\circ ; \angle ADB=\angle ABD=\beta ; AB=a; DB=d_1; AC=d_2[/tex]

От сбора на ъглите в [tex]\Delta ABD=>180^\circ =2\beta +\alpha >2\beta +60^\circ =>\beta <60^\circ[/tex]
Тогава е ясно, че [tex]AB<DB=>a<d_1[/tex]. От условието =>[tex]\angle ABC>90^\circ =>[/tex]
В триъгълник АВС страните са наредени по следния начин:
[tex]AB=BC<AC[/tex]
Тогава:[tex]AB<DB<AC=>a<d_1<d_2[/tex]
Да ги означим като членове на растяща геометрична прогресия:
[tex]x; xq; xq^2; q>1[/tex]
Да разгледаме правоъгълния [tex]\Delta BOC[/tex](O-пресечна точка на диагоналите)
Прилагаме Питагорова теорема=>
[tex]\frac{x^2q^2}{ 4} +\frac{x^2q^4}{4 } =x^2[/tex]
Така намираш q. Онова, което е >1. После пак от същия триъгълник синусът ще е равен на [tex]\frac{OB}{ BC} =\frac{q}{ 2}[/tex]
Сега си мисля, че има и още един момент. За да имаме страни на триъгълник, трявба:
[tex]AC<AB+BC=>xq^2<2x=>q^2<2=>q<\sqrt{2}[/tex]
Значи от биквадратното у-е търсим онова частно [tex]q\in (1; \sqrt{2} )[/tex]