Само за зрелостниици!!!!

[baroveca]

Тъй като наближава матурата по математика, реших да пиша задачи, които да бъдат решавани от бъдещи зрелостници. Когато бъде решена тази задача, ще поствам и още за тренинг
Задача:
Основата AB на равнобедрен трапец ABCD е 2 см, а [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex]. Диагоналът BD на трапеца, височината му СК и ъглополовящата на [tex]\angle A[/tex]се пресичат в една точка. Намерете другата основа на трапеца CD.
Успех!

[Anubis]

Нека [tex]AB=a, \, CD=b[/tex], по-късно ще си спомним, че [tex]a=2[/tex]. Нека също [tex]AL[/tex] е ъглополовящата и [tex]BD[/tex] пресича

[tex]AC[/tex] в точката [tex]F[/tex].

[tex]\angle BAL=30^\circ, \, \angle ABC=60^\circ \Rightarrow \angle ALB=90^\circ \Leftrightarrow AL \bot BC[/tex]

[tex]CK \bot AB[/tex] по условие, а също [tex]BF, \, CK, \, AL[/tex] се пресичат в една точка. Тогава [tex]BF \bot AC[/tex]. От теоремата на

Чева за [tex]\triangle ABC[/tex] получаваме [tex]\frac{AK}{KB}.\frac{BL}{LC}.\frac{CF}{FA}=1[/tex].

Но [tex]AK=\frac{a+b}{2}, \, KB=\frac{a-b}{2}[/tex], а от [tex]\triangle ABL[/tex] и [tex]\triangle BKL[/tex] намираме [tex]BL=1, \, LC=a-b-1[/tex].

[tex]AF \bot BF, \, AF=BF \Rightarrow AF=\sqrt{2}[/tex] (от [tex]\triangle ABF[/tex])

[tex]\angle BAF=45^\circ, \, \angle BAL=30^\circ \Rightarrow \angle CAL=15^\circ \Rightarrow \angle ACB=75^\circ[/tex]

Вече от [tex]\triangle FCB[/tex] изчисляваме [tex]FC=(a-b) sin 15^\circ[/tex].

Заместваме резултатите в условието на Чева и намираме [tex]b=\frac{\sqrt{2}-2 sin 15^\circ}{\sqrt{2}+ sin 15^\circ}[/tex], помнейки, че [tex]a=2[/tex].

[baroveca]

Би ли разписал докрай отговора си и да докажеш,че [tex]BF\bot AC[/tex]

[0xdeadbeef]

[tex]\triangle BWT \sim \triangle QDT[/tex] : [tex]\frac{BW}{QD} = \frac{WT}{QT} \Leftrightarrow \frac{2 - (b+x)}{b+x}=\frac{b+x}{2x}[/tex] [tex](1)[/tex].
[tex]QW = BC = AD = b + 3x[/tex], от друга страна [tex]BC=AD=2-b[/tex], от където намираме [tex]2b + 3x = 2[/tex] [tex](2)[/tex]. От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] достигаме до [tex]\fbox{b^2 -8b + 4=0}[/tex]
---
По свойстовото на ъглополовящата за [tex]\triangle ABD[/tex] : [tex]\frac{BT}{DT}=\frac{AB}{AD}=\frac{2}{2-b}[/tex] [tex](1)[/tex].
[tex]\triangle BTK \sim \triangle DTC[/tex] : [tex]\frac{BT}{DT}=\frac{BK}{CD} = \frac{2-b}{2b}[/tex] [tex](2)[/tex]. Приравняваме [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] и достигаме до [tex]\fbox{b^2 -8b + 4=0}[/tex]
---
От предното решение [tex]BF \perp AC \Leftrightarrow \fbox{b^2 -8b + 4 = 0}[/tex]

[Anubis]

Би ли разписал докрай отговора си и да докажеш,че [tex]BF\bot AC[/tex]

Ами нали по условие [tex]AL, \, BD, \, CK[/tex] минават през една точка [tex]T[/tex] и [tex]CK \bot AB, \, AL \bot BC[/tex], оттук [tex]T[/tex] е

ортоцентър и [tex]BF \bot AC[/tex]. Схващаш ли, ?

[tex]sin^2 x = \frac{1 - cos 2x}{2} \Rightarrow sin^2 15^\circ = \frac{1 - cos 30^\circ}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}; \, 15^\circ \in \left ( 0^\circ; \, 90^\circ \right ) \Rightarrow sin 15^\circ >0 \Rightarrow sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}[/tex]

Нататък сметките можеш и сам да си ги направиш и да си рационализираш полученото, (къв съм гаден).

[baroveca]

Добре. По-късно ще напиша още една задачка за зрелостници! Да има тренинг все пак Какви ги искате- по-трудни или по-лесни?

[ganka simeonova]

Добре. По-късно ще напиша още една задачка за зрелостници! Да има тренинг все пак Какви ги искате- по-трудни или по-лесни?

В задачите за матури няма трудни

[Mr.G{}{}Fy]

Ще си позволя да напиша едно решение като се надявам на другите да не са еднакви с моето,но до колкото гледам има построения,Чеви ...
[tex]b[/tex]-малка основа
[tex]c[/tex]-бедро

[tex]2-b=c (\Delta CPB)[/tex]

[tex]\frac{DT}{TB }=\frac{c}{ 2}[/tex] (св-во на ъглополовящата)

[tex]\frac{DT}{TB }=\frac{2b}{2-b }[/tex] но [tex]2-b =c[/tex] ===> [tex]\frac{DT}{TB }=\frac{2b}{c }[/tex]

===> [tex]\frac{DT}{TB }=\frac{2b}{c }=\frac{c}{ 2}[/tex] ===> [tex]c^2=4b[/tex]

от [tex]c^2=4b[/tex] и [tex]2-b =c[/tex]намираме [tex]b[/tex] мисля,че нататъка няма нужда да я продължавам задачата
а относно решението на Анубис според мен е прекалено трудно Чева,[tex]sin15^\circ ...[/tex]
нищо лично не искам да обиждам никой просто давам решение,което според мен е едно от рационалните а и е доста мързеливо