Нова задача за зрелостници!

[baroveca]

В равнобедрения триъгълник АВС с основа АВ и отсечка СL е ъглополовяща, а с О е означен центърът на вписаната н триъгълника окръжност. Правата през О, успоредна на ВС, пресича страните АВ и АС съответно в точките М и N, като ОМ=12см. и ОN=8см. Правата АО пресича страната ВС в точка К. Да се намерят страните на триъгълника и радиуса на описаната окръжност около триъгълник АСК.

[strangerforever]

[tex]28, 42, \frac{56\sqrt{2}}{5}[/tex] ?

[0xdeadbeef]

[tex]\triangle AMN[/tex] - равнобедрен [tex]\Rightarrow AN=MN=20[/tex]

[tex]AO[/tex] - ъглополовяща в [tex]\triangle AMN[/tex] : [tex]\frac{ON}{OM} = \frac{AN}{AM}[/tex], от където [tex]AM=30[/tex]

[tex]\triangle AMN \sim \triangle ABC[/tex] : [tex]\frac{AM}{AB} = \frac{AC}{AN}[/tex], от където [tex]\frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}[/tex] [tex](1)[/tex]

[tex]\triangle OML \sim \triangle ACL[/tex]: [tex]\frac{LM}{AL} = \frac{OM}{AC} \Leftrightarrow 2 \frac{LM}{AB} = \frac{OM}{AC}[/tex] [tex](2)[/tex]

От [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex], намираме [tex]LM=9[/tex]. Сега [tex]2AL = 2(AM - LM) = \fbox{AB = 42}[/tex] и предвид равенство [tex](1)[/tex] [tex]\fbox{AC = 28}[/tex].

[tex]AK[/tex] - ъглополовяща на [tex]\angle A[/tex] в [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}[/tex] и [tex]BK + CK = AC = 28[/tex], от където [tex]CK = \frac{56}{5}[/tex].
[tex]\sin^2{(\frac{\angle A}{2})}[/tex][tex]= \frac{1 - \cos{\angle A}}{2}=\frac{1}{8}[/tex] или [tex]\sin{(\frac{\angle A}{2})} = \pm \frac{sqrt{2}}{4}[/tex], но [tex]\angle A \in (0, \frac{\pi}{2})[/tex], значи [tex]\sin{(\frac{\angle A}{2})} = + \frac{sqrt{2}}{4}[/tex].
Синусова теорема за [tex]\triangle AKC:[/tex] [tex]CK=2R.\sin{(\frac{\angle A}{2})}[/tex] [tex](*)[/tex], където [tex]R[/tex] е радиуса на описаната около [tex]\triangle AKC[/tex] окръжност. От [tex](*)[/tex] намираме [tex]\fbox{R= \frac{56 \sqrt{2}}{5}}[/tex]

[baroveca]

Браво! Довечера пускам още една хубава задачка

[baroveca]

[tex]28, 42, \frac{56\sqrt{2}}{5}[/tex] ?

12 клас ли си?

[strangerforever]

[tex]28, 42, \frac{56\sqrt{2}}{5}[/tex] ?

12 клас ли си?

10ти.

[baroveca]

10ти.

Мхх съмнявам се,че си 10ти..спомням си,че беше обяснявал една задача за екстремиуми, а те не се учат в 10 клас.

[strangerforever]

10ти.

Мхх съмнявам се,че си 10ти..спомням си,че беше обяснявал една задача за екстремиуми, а те не се учат в 10 клас.

Не се учат в 10ти, но се дават по олимпиади, така че ми е нужно да ги знам, 10ти съм, а дали ми вярваш ти си решаваш. :Р

[Mr.G{}{}Fy]

10ти.

Мхх съмнявам се,че си 10ти..спомням си,че беше обяснявал една задача за екстремиуми, а те не се учат в 10 клас.

10-ти е