Задача от "матура за отличен"

[deather]

Здравейте,
ще съм благодарен ако някои ми помогне с тази задача


На чертежа AB||CD, CD||PQ, AC=3, CP=9 и CD=5. Дължината на PQ е:
а) 15;
б) 20;
в) 25;
г) не може да се определи.

ЧЕРТЕЖ

Според отговорите в сборника верния отговор е Г), но аз получавам 20. Та се колебая дали няма грешка нещо

[strangerforever]

Не може да се определи, не знаем къде се пресичат, нито можем да определим.

[deather]

Мерси.

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC. Ako [tex]\angle BAD = 60^\circ[/tex] и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1, то лицето на ABCD е ?

[deather]

Някой ще помогне ли, моля

[pspeeva]

Правата ВКу не е фиксирана. Тя може спокоооойно да се върти около точка Д, като се запазват същите останали мерки. Отговор 20 се получава, когато А и В съвпадат, но това го няма в условието.
Така че май няма грешка в отговора от сборника.

[Consigliere-]

Задачата е от 1вата част на матура но просто не виждам какво да правя
▲ABC е равностранен със страна 4 см.Точка М е средата на АB,а точките N и Q са съответно от страните BC и AC.Лицето на квадрата QMNP в квадратни см. е:

[amsara]

Не е ли сгрешено условието Получава се противоречие, при решаване по два различни начина.Освен ,ако не построявам правилно квадрата, но мисля, че го правя верно.

[Consigliere-]

Отговорът е 12(2-√3)
Моля да го реши някой ,че това е последната задача от теста (като изключим комбинаториката,защото още не съм почнал да я уча) и няма да мога да заспя иначе ;д

[amsara]

Ами аз мога само да споделя какво правя аз и къде намирам противоречието.
1-во решение
▲MBN -правоъгълен с 30 °
=>NB=MB/2=2/2=1cm
1^2+MN^2=2^2
MN=√3=>MQ=√3-противоречиеу понеже ▲AMQ трябва да е равностранен.

2-ро решение
▲МВН еднакъв на ▲QCP
=>QC=2cm=>AQ=4-2=2 cm
▲AMQ - равностранен, => QM=MN=2 cm
Противоречие, понеже се получава в правоъгълен ▲ катетът и хипотунузата да са равни.А това не може да стане.

[ptj]

Хм, условието е хитро, защото не върви директно с 4-ти признак за еднаквост на триъгълници.

Имаш [tex]QM=MN[/tex] и [tex]\angle QMN=90^\circ[/tex].

Прилагаш синусова теорема за [tex]\Delta MNB[/tex] и [tex]\Delta MQA[/tex] и намираш

[tex]sin(\angle MNB)=sin(\angle MQA)[/tex].

Освен това [tex]\angle MNB+\angle MQA=150^\circ[/tex]

Единственото решение е [tex]\angle MNB= \angle MQA=75^\circ[/tex].

Сега вече [tex]\frac{MN}{sin60^\circ }=\frac{MB}{sin75^\circ }[/tex],
т.е. [tex]MN=2\frac{\frac{\sqrt{3} }{ 2} }{sin75^\circ }=\frac{\sqrt{3} }{sin75^\circ }[/tex].

Тогава [tex]MN^2=\left(\frac{\sqrt{3} }{sin75^\circ }\right)^2=\frac{3}{sin^2 75^\circ }=\frac{3.2}{1-cos150^\circ }=\frac{3.2}{1-(-\frac{\sqrt{3} }{2 }) }=\frac{12}{2+\sqrt{3} }=\frac{12(2-\sqrt 3)}{(2+\sqrt 3)(2-\sqrt 3)}=12(2-\sqrt 3)[/tex].

[amsara]

ptj, може ли да обясниш, къде точно е грешката в тези две решения, които написах и които водят до противоречия, понеже това с тригонометрията въобще не го разбирам още?

[ptj]

ptj, може ли да обясниш, къде точно е грешката в тези две решения, които написах и които водят до противоречия, понеже това с тригонометрията въобще не го разбирам още?

В първия случай бъркаш ъглите. [tex]\angle QMN=90^\circ[/tex], a не [tex]\angle MNB[/tex].

По принцип веднага се предполага еднаквостта на [tex]\Delta AMQ[/tex] и [tex]\Delta BMN[/tex],
но се получават само по две страни и ъгъл, а той не е срещу по-голямата (4-ти признак).

[Consigliere-]

Мерси и на 2мата за отделеното време !!!!!! Оказа се интересна а ? :Д

[amsara]

ptj, може ли да обясниш, къде точно е грешката в тези две решения, които написах и които водят до противоречия, понеже това с тригонометрията въобще не го разбирам още?

В първия случай бъркаш ъглите. [tex]\angle QMN=90^\circ[/tex], a не [tex]\angle MNB[/tex].

Оф, явно нещо ми бяга и не разбирам какво. Упоменатият от теб ъгъл ясно,че е прав.Но не разбирам защо и МNВ да не е 90°.Нали се явява съседен на МNР, който също е прав Явно проблемът ми е някъде в самото начертаване на квадрата.

[ptj]

Виж внимателно буквите на квадрата, 4-тия му връх не лежи върху страна на триъгълника.

П.П. Начертай си [tex]\angle MNB=75^\circ[/tex].
(45+60) колко е?

[amsara]

Виж внимателно буквите на квадрата, 4-тия му връх не лежи върху страна на триъгълника.

П.П. Начертай си [tex]\angle MNB=75^\circ[/tex].
(45+60) колко е?

Благодаря много за подсказването с разположението на четвъртия връх на квадрата. Вече като знаех, че ъгълът е 75°, беше лесно нататък да реша задачата и без тригонометрия.
http://imageshack.us/photo/my-images/59 ... 11722.jpg/

[ptj]

Научи се да си правиш правдоподобни чертежи. Това много помага за изграждане на подходяща хипотеза относно решението.

П.П. Ставаш все по-разсеяна, което е признак за добри математически заложби.

[amsara]

П.П. Ставаш все по-разсеяна, което е признак за добри математически заложби.

Това верно ми хареса. Да си оставам ли тогава разсеяна и нататък или да се оправям вече

[Consigliere-]

По тази логика аз трябва да съм най-добрия математик тук !