Приятна задача за матура

[ganka simeonova]

Триъгълник АВС е описан около окръжност. Построени са допирателни отсечки, успоредни на страните, с дължини съответно k, m, n. (виж чертежа).
Ако [tex]AO=a; \angle BAC=\alpha[/tex], намерете лицето на [tex]KLMNPQ[/tex]

[baroveca]

[tex]S=a.sin(\frac{\alpha }{ 2}) .(k+m+n )[/tex] ?
Ясно е,че [tex]P_{KLMNPQ}=2(k+m+n)[/tex]
От това,че KLMNPQ е правилен шестоъгълник, следва че [tex]P=6x=>x=\frac{k+m+n}{3 }[/tex]
[tex]S_{KLMNPQ}=6S_{PNO}[/tex]
[tex]S_{PNO}=\frac{r.x}{2 }=>S_{PNO}=\frac{a.sin(\frac{\alpha }{2 }).(\frac{k+m+n}{3 }) }{ 2}[/tex]
[tex]S_{KLMNPQ}=6.\frac{a.sin(\frac{\alpha }{2 }).(\frac{k+m+n}{3 }) }{ 2}=>S=a.sin(\frac{\alpha }{ 2}) .(k+m+n )[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]S=a.sin(\frac{\alpha }{ 2}) .(k+m+n )[/tex] ?
Ясно е,че [tex]P_{KLMNPQ}=2(k+m+n)[/tex]
От това,че KLMNPQ е правилен шестоъгълник, следва че [tex]P=6x=>x=\frac{k+m+n}{3 }[/tex]
[tex]S_{KLMNPQ}=6S_{PNO}[/tex]
[tex]S_{PNO}=\frac{r.x}{2 }=>S_{PNO}=\frac{a.sin(\frac{\alpha }{2 }).(\frac{k+m+n}{3 }) }{ 2}[/tex]
[tex]S_{KLMNPQ}=6.\frac{a.sin(\frac{\alpha }{2 }).(\frac{k+m+n}{3 }) }{ 2}=>S=a.sin(\frac{\alpha }{ 2}) .(k+m+n )[/tex]

Оппа, шестоъгълникът не е правилен, моля

[dimy93]

[tex]r=sin(\frac{\alpha }{ 2} ) *a[/tex]
[tex]S=p*r = sin(\frac{\alpha }{ 2} ) *a*(k+m+n)[/tex]