четириъгълник

[rufi]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC. Ako ъгъл BAD = 60 градуса и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1, то лицето на ABCD е ?

[dimy93]

Щом може да се впише окръжност=>[tex]AB+DC = AD+BC[/tex]
AC - диаметър => [tex]\Delta ADC[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex] са правоъгълни .От Питагорова теорема => [tex]AB^2 +BC^2 = AC^2 = AD^2 +DC^2[/tex] => [tex]AB^2-DC^2 = AD^2-BC^2[/tex] => [tex](AB+DC)(AB-DC) = (AD+BC)(AD-BC)[/tex],но [tex]AB+DC = AD+BC[/tex] =>[tex]AB-DC=AD-BC[/tex]
Съберем почленно [tex]AB+DC = AD+BC[/tex] и [tex]AB-DC=AD-BC[/tex] => AB=AD => DC=BC
От 3ти ПЕТ за[tex]\Delta ADC[/tex] и [tex]\Delta ABC[/tex] => [tex]\Delta ADC \equiv \Delta ABC[/tex] => [tex]\angle CAD = \angle CAB=30^\circ[/tex] и [tex]\angle ACD = \angle ACB=60^\circ[/tex] =>AC -ъглополовяща на [tex]\angle DAB[/tex] и [tex]\angle DCB[/tex] => I-центъра на вписаната окръжност е на AC
Нека N и M са допирните точки на BC и AB с вписаната окръжност
От правоъгълните AMI и INC =>[tex]AI = 2[/tex] и [tex]CI = \frac{2}{ \sqrt{3} }[/tex] =>[tex]AC = \frac{2}{ \sqrt{3} }(\sqrt{3}+1 )[/tex]
От правоъгълният ABC => [tex]BC = \frac{\sqrt{3}+1 }{ \sqrt{3} }[/tex] [tex]BA =\sqrt{3}+1[/tex]
[tex]S\Delta ABC=\frac{AB*BC}{2 }=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3} }[/tex]
[tex]SABCD = 2S\Delta ABC =2*\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3} }[/tex]