dzi

[D.kuneva]

18.В равнобедрения ΔABC (AC = BC) медицентърът M е точка от вписаната в
триъгълника окръжност. Отношението на основата и бедрото е:
А) 2 : 5; Б) 3 : 2 ; В) 5 : 2 ; Г) 2 : 3

19.През медицентъра на ▲АВС е построена права , успоредна на АС,пресичаща АВ и ВС съответно в точките Д и Е. Да се намери ДЕ,ако АД+ЕС=16см и периметърът на ▲ АВС е 75см
отг18см
мерси предварително за помощта

[Consigliere-]

ABC-равнобедрен
CH-височина,медиана
M и O са ти медицентъра и центъра на вписаната окръжност,които лежат на CH
[tex]MH=2r,CM=4r[/tex](медицентъра дели медианите в отношение 2:1 считано от върха)
Нека [tex]OQ \bot BC , OQ= r[/tex]
Имаш подобни триъгълници [tex]\Delta OQC \approx \Delta HBC[/tex]
[tex]\frac{OQ}{ HB} = \frac{CO}{ BC}[/tex]
[tex]\frac{r}{ \frac{AB}{2 } } = \frac{5r}{ BC}[/tex]
[tex]\frac{AB}{BC } = \frac{2}{5 }[/tex]

[D.kuneva]

mersiii

[Consigliere-]

[tex]AA_{1} , BB_{1}, CC_{1}[/tex]- ,медиани
G-медицентър
[tex]\Delta GBE \approx \Delta BB_{1}C[/tex]
[tex]\frac{BG}{ BB_{1}} = \frac{BE}{ BC}[/tex]
[tex]\frac{2}{ 3} = \frac{BE}{ BC}[/tex]
Нека [tex]BE=2y,EC=y[/tex]
Аналогично от подобието на [tex]\Delta BDG \approx \Delta ABB_{1}[/tex] , означаваме [tex]BD=2x , AD=x[/tex]
Нека [tex]AC=u[/tex]
Тогава [tex]3x + 3y + u = 75[/tex]
[tex]3(x+y) + u = 75[/tex]
Но по условие имаме
[tex]AD+CE = x+y = 16[/tex]
[tex]3.16 + u = 75[/tex]
[tex]u = 27 ,AC= 27[/tex]
Сега [tex]\Delta BDE \approx \Delta ABC[/tex]
[tex]\frac{BD}{ AB} = \frac{DE}{ AC}[/tex]
[tex]\frac{2x}{ 3x} = \frac{DE}{27 }[/tex]
[tex]DE=18[/tex]