От задачи за матура

[D.kuneva]

Mоже ли помощ за една задачка ще ви бъда благодарна ..
27. Даден е квадрат АВСД със страна а , в който точката N е среда на ВС, М принаглежи на СД и СМ:МД = 2:1. Диагоналът ВД пресича АN и АМ съответно в точките Р и К. Да се намери лицето на петоъгълника КРNСМ.

[ganka simeonova]

[tex]S=\frac{9a^2}{24 }[/tex]
Утре ще напиша решение, сега съм уморена.. От къде е задачата? Не мисля, че по сложност е задача от матура....

[D.kuneva]

Задачата е от сборника на Руси Русев

[amsara]

Taзи задача не я оставих цели два дни,все нещо ме караше да се пробвам, докато все пак успях да я реша.Допълнително построение, 2 подобия като следствие от него, пропорции на лица. Накрая получих отговора.
Ама страшно ме мързи да я разписвам цялата, затова след малко ще кача снимка на драсканиците си.

[amsara]

Нищо не се разбира от въпросните драсканици, та май ще се наложи да я разпиша.
O- пресечна точка на диагоналите

[tex]AB=BC=CD=DA=a, BN=CN=\frac{a}{ 2}, DM=\frac{a}{3 }, MC=\frac{2a}{3 }[/tex]

[tex]S_{MDA}=\frac{a}{3 }.a.\frac{1}{2 }=\frac{a^2}{6 }[/tex]

[tex]S_{ABN}=a.\frac{a}{2 }.\frac{1}{2 }=\frac{a^2}{ 4}[/tex]

[tex]S_{MDA}+S_{ABN}=\frac{a^2}{6 }+\frac{a^2}{ 4} =\frac{5a^2}{ 12} => S_{MANC}=a^2-\frac{5a^2}{12 } = \frac{7a^2}{ 12}[/tex]

Построяваме [tex]FO II AM, F \in CD, S_{FOC}=B=\frac{a^2}{ 12}[/tex]

[tex]DM=MF=FC=\frac{a}{ 3} => KM[/tex]- средна отсечка в [tex]\Delta DOF[/tex]

[tex]AK -[/tex] медиана в AOD =>[tex]S_{DAK}=S_{KAO}=\frac{3B}{ 2} = \frac{3a^2}{ 24}=\frac{a^2}{8\frac{}{ } }[/tex]

[tex]S_{APO}=q, S_{PBN}=p, \Delta APD \approx \Delta NPB =>\frac{3B+q}{p } =2^2[/tex]

[tex]3B+q=4p <=>\frac{3a^2}{12 }+q=4p[/tex] ( 1 уравнение)

[tex]3B-q+p=S_{ABN}=\frac{a^2}{ 4} <=> \frac{3a^2}{ 12} -q+p=\frac{3a^2}{12 } => p=q[/tex] ( 2 уравнение)

[tex]\frac{3a^2}{12 }+q=4q <=> q=\frac{a^2}{ 12}[/tex]

[tex]S_{KPNCM}=\frac{7a^2}{12 } - \frac{a^2}{ 8}-\frac{a^2}{ 12}= \frac{14a^2-3a^2-2a^2}{24 }=\frac{9a^2}{24 }[/tex]

[strangerforever]

Нека [tex]BD = x[/tex].

[tex]\frac{DK}{KB} = \frac{1}{3} \Rightarrow KB = \frac{3x}{4}[/tex]. [tex]\frac{DP}{PB} = 2 \Rightarrow PB = \frac{x}{3} \Rightarrow KP = \frac{5x}{12} \Rightarrow \frac{KP}{DB} = \frac{S_{AKP}}{S_{ADB}} = \frac{5}{12}[/tex]

[tex]\Rightarrow S_{AKP} = \frac{5a^2}{24}[/tex]

Лесно намираме [tex]S_{ADM} = \frac{a^2}{6}[/tex] и [tex]S_{ANB} = \frac{a^2}{4}[/tex].

Събирайки трите получаваме [tex]\frac{15a^2}{24}[/tex]. След изваждане от [tex]S_{ABCD} = a^2[/tex] достигаме до [tex]S_{KPNCM} = \frac{9a^2}{24}[/tex]

[D.kuneva]

Благодаряя ви за решенията )))

[ganka simeonova]

И ако трябва да сме честни, тази задача от сборника на Руси Русев, е задача на Шаригин! И това не е задача тип ДЗИ.