Доказване, че даден квадратен тричлен се дели на 120.

[4okoboko]

Докажете, че за всяко цяло число k, числото (k-2)(k-1)k(k+1)(2k-1) се дели на 120. Тази задача я имаше публикувана и в друг раздел- теория на числата, ето и връзка: viewtopic.php?f=27&t=7442 , но не са стигнали до решение. Задачата ми е последна от учебника и по принцип има подобна решена от учебника, но никъде не пишеше как може да докажа как квадратен тричлен се дели на дадено число. И ако може някой, който със сигурност знае как се решава да ми напише цялото доказателство.

[pal702004]

Достатъчно е за се докаже, че изразът се дели на 3,5 и 8. В началото имаме произведение на 4 последователни числа, едно от които се дели на 4, и имаме още едно четно - изразът се дели на 8. От 4 последователни числа поне едното се дели на 3. Остава да се докаже делимост на 5. Нито едно от 4-те последователни числа не се дели на 5, само ако [tex]k\equiv 3 \pmod 5[/tex] ([tex]k=5t+3[/tex]). Но тогава [tex]2n-1=10t+5[/tex] се дели на 5.

[pal702004]

Да, и "квадратният тричлен" от заглавието хич го няма.

[4okoboko]

Аз го пуснах в разложен вариант. . Колкото до решението не разбрах много как става, но проверих в интернет, че става с индукция и погледнах какво представлява и така и ще я реша.Но мерси все пак, че я реши аз ще се опитам да го разбера и да я направя и по този вариант, ама не си давам големи шансове

[Knowledge Greedy]

Здравей, 4okoboko! Ще предложа решение на тази задача. Първо означаваме произведението с [tex]A[/tex].
[tex]A=(k-2)(k-1)k(k+1)(2k-1)[/tex]
Ще докажем, че за всяко цяло число [tex]k[/tex], числото [tex]A[/tex] се дели на всяко от числата [tex]3[/tex], [tex]5[/tex] и [tex]8[/tex], защото [tex]120=3.5.8[/tex] и всеки две от тях са взаимно прости.
Започваме с [tex]8[/tex].
От две последователни цели числа [tex]1[/tex] и [tex]2_,[/tex] [tex]2[/tex] и [tex]3_,[/tex] [tex]3[/tex] и [tex]4_,[/tex] ..., [tex]25[/tex] и [tex]26[/tex] - едното със сигурност се дели на [tex]2[/tex] - наричаме го четно. Четните числа означаваме с [tex]2m[/tex].
Самото произведение на тези числа също се дели на [tex]2.[/tex]
В числото [tex]A[/tex] има такива последователни числа - това са [tex](k-2)[/tex] и [tex](k-1),[/tex] [tex](k-1)[/tex] и [tex]k,[/tex], [tex]k[/tex] и [tex](k+1)[/tex]. (Вече съм сигурен, че разбираш за какво става дума и виждаш как със сигурност [tex]A[/tex] се дели не само на [tex]2[/tex] и на [tex]4[/tex] дори, но ще довърша аз разсъждението.)
Да разгледаме последователните четни. Такива са например [tex]2[/tex] и [tex]4_,[/tex] [tex]4[/tex] и [tex]6_,[/tex] [tex]6[/tex] и [tex]8_,[/tex] ..., [tex]22[/tex] и [tex]24[/tex]. Веднага се вижда,че произведението на такава двойка числа се дели на [tex]8[/tex].
Наистина, ако едното четно означим с [tex]2m[/tex], следващото след него четно е [tex]2m+2[/tex]. Тяхното произведение [tex]2m(2m+2)=4m(m+1)[/tex] се дели със сигурност на [tex]4[/tex], но освен това съдържа в себе си два последователни цели множителя [tex]m[/tex] и [tex]m+1[/tex], от които единият е четен. Следователно това произведение [tex]2m(2m+2)[/tex] се дели на [tex]8[/tex].
Сега ще запиша само последователните множители на [tex]A[/tex] с цветове.
[tex]A=[/tex]четно.нечетно.четно.нечетно.[tex](2k-1)[/tex]

Втора възможност за същото представяне е
[tex]A=[/tex]нечетно.четно.нечетно.четно..[tex](2k-1)[/tex]
(Това са всички възможности, например първата при [tex]k=10[/tex], а втората при [tex]k=11[/tex])

Изводът е ясен - независимо от това, дали числото [tex]A[/tex] започва с нечетен или с четен множител, в него винаги има два зелени множителя, т.е. последователна двойка четни.
Следователно [tex]A[/tex] се дели на [tex]8[/tex] (без остатък).

Продължаваме с делимост на [tex]3[/tex]
Отбелязахме как се записват четните, но пропуснахме как се записват нечетните. Ако имаме четно число [tex]2m[/tex], кои са неговите съседни?
Много ясно - отляво е [tex]2m-1[/tex], а отдясно е [tex]2m+1[/tex].
Например при [tex]m=7[/tex] число [tex]2m[/tex], за което стана въпрос, е [tex]14[/tex],
а съседните му нечетни са [tex]2m-1=2.7-1=13[/tex] и [tex]2m+1=2.7+11=15[/tex].

А как записваме делящите се без остатък на [tex]3[/tex]? Разбира се - с формулата [tex]3n[/tex]
(Смятам 4okoboko, че си достатъчно самостоятелен, сам да избереш името на буквата - то е без значение, със същия успех можем да означим делящото се без остатък на [tex]3[/tex] с [tex]3t[/tex], [tex]3p[/tex] или [tex]3a[/tex] )
Да проследим сега как се разпределят делящите се на [tex]3[/tex] сред естествения ред на числата.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
С твърдо постоянство те се редуват с тези числа, които дават остатък при деление на [tex]3[/tex].
Ето защо, записвайки в числото [tex]A[/tex] кратните (делящите се ) на [tex]3[/tex] със зелено и даващите остатък при деление на [tex]3[/tex] с оранжево, ще имаме следните три случая.
[tex]A=[/tex] (кратно на 3). (даващо остатък). (даващо остатък).(кратно на 3).[tex](2k-1)[/tex]

[tex]A=[/tex] (даващо остатък).(кратно на 3). (даващо остатък). (даващо остатък).[tex](2k-1)[/tex]

[tex]A=[/tex] (даващо остатък).(даващо остатък).(кратно на 3).(даващо остатък).[tex](2k-1)[/tex]

4okoboko, ако си имал търпението да стигнеш дотук, заедно с мен в решението на тази задача, съм повече от сигурен, че можеш да довършиш това решение сам. Но може би има и други читатели и затова ще продължа.
Стана ясно, че измежду последователните множители на числото [tex]A[/tex] винаги има и делящ се на [tex]3[/tex].
Логичният извод е, че [tex]A[/tex] се дели на [tex]3[/tex] без остатък.

Продължаваме с делимост на [tex]5[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ако 4okoboko се справя със сравнения, моите писаници са излишни.
От друга страна започнах решението така, защото той не е видял решението в линка, който сам предложи.

Докажете, че ... Тази задача я имаше публикувана ..., ето и връзка: viewtopic.php?f=27&t=7442 , но не са стигнали до решение...

Задачата е напълно решена в този линк от mkmarinov с метод на пълната математическа индукция.
Все пак аз ще довърша "детското" решение с цветовете

[4okoboko]

Мерси много за подробното решение.Сега ми се изясни и първия пост, само да питам- тази задача просто я знаеш, защото е стандартна (госпожата понякога дава задача и казва, че единствения начин е да я научим, иначе няма как да се сетим - под такъв смисъл стандартна) или ти си се сети че може да представиш 120 като 3, 5 и 8? В смисъл- всички задачи с деление ли може така да решавам или само тая е супер частен случай

[Knowledge Greedy]

... може да представиш 120 като 3.5.8? В смисъл- всички задачи с деление ли може така да решавам...

Върху голяма част от задачите с деление се разсъждава по този начин: делителя го разбиваме най-често на прости множители и след това се питаме кога делимото се дели на всеки от простите множители.

Продължаваме с делимост на [tex]5[/tex]
Видяхме, че всички четни се записват като [tex]2m[/tex], всички кратни на [tex]3[/tex] записваме като [tex]3k[/tex], всички кратни на [tex]5[/tex] ще записваме като [tex]5m[/tex].
А как да записваме тези, които не се делят на [tex]5[/tex] точно, а дават остатък?
- Зависи от това какъв е остатъкът.
Ако е [tex]1[/tex], ще ги записваме така [tex]5m+1[/tex]
Ако остатъкът е [tex]2[/tex], ще ги записваме [tex]5m+2[/tex]
Ако остатъкът е [tex]3[/tex], ще ги записваме [tex]5m+3[/tex]
Ако остатъкът е [tex]4[/tex], ще ги записваме [tex]5m+4[/tex]

Примери. Да вземем произволно число например [tex]37[/tex]. Делим го на [tex]5[/tex].
Получаваме [tex]37=5.7+2[/tex](ост.) - числото е от втория вид.

И сега ще разгледаме всяка от възможностите - както при делението на [tex]2[/tex] и на [tex]3.[/tex]
1) Когато [tex]k=5m[/tex] , числото [tex]A[/tex] има множител 5.
[tex]A=(5m-2)(5m-1)[/tex]5[tex]m(5m+1)(2.5m-1)[/tex]

2) Когато [tex]k=5m+1[/tex] , числото [tex]A[/tex] също има множител 5. Само че на друго място
[tex]A=(5m+1-2)(5m+\cancel{1}-\cancel{1})(5m+1) (5m+1+1)[2.(5m+1)-1][/tex] - виж втория чифт скоби (отляво - надясно).

3) Когато [tex]k=5m+2[/tex] , числото [tex]A[/tex] също има множител 5. Само че на друго място
[tex]A=(5m+\cancel{2}-\cancel{2})(5m+2-1)(5m+2) (5m+2+1)[2.(5m+2)-1][/tex] - виж първия чифт скоби.

4) Когато [tex]k=5m+3[/tex] , числото [tex]A[/tex] отново има множител 5. Само че в последните скоби
[tex]A=(5m+3-2)(5m+3-1)(5m+3) (5m+3+1)[2.(5m+3)-1][/tex]
- виж в последните скоби [tex]2.(5m+3)-1=10m+6-1=10m+5=5(2m+1)[/tex] - има множител [tex]5.[/tex]

5) Когато [tex]k=5m+4[/tex] , числото [tex]A[/tex] пак има множител 5. Само че на друго място
[tex]A=(5m+4-2)(5m+4-1)(5m+4) (5m+4+1)[2.(5m+2)-1][/tex] - този път в четвъртия чифт скоби, като изнесем множител [tex]5.[/tex]

И тъй като това бяха всички възможности за остатъците при деление на [tex]5[/tex], правим извода:
Следователно [tex]A[/tex] се дели на [tex]5[/tex] без остатък.

След като числото [tex]A[/tex] се дели без остатък на всяко от числата [tex]3, 5[/tex] и [tex]8[/tex], то се дели и на тяхното произведение.
Значи за всяко цяло число [tex]k[/tex], числото [tex]A[/tex] се дели на [tex]120[/tex].

В заключение ще кажа, да не се заблуждаваш от дългото писане
- видя краткото решение на pal702004 Нед Юли 06, 2014 3:21 pm - то е съвсем същото, но на 5 реда. Ще свикнеш