Разложете .... 7ми клас

[freddy]

Задачата е за7ми клас.
разложете a^7 + a^2 +1
трябва д асе докара до този вид (...)(...)(...)(...)

[loving_math]

[tex]a^7+a^6-a^6+a^5-a^5+a^4-a^4+a^3-a^3+a^2-a^2+a^2+a-a+1=[/tex]
[tex]=(a^7+a^6+a^5)-(a^6+a^5+a^4)+(a^4+a^3+a^2)-(a^3+a^2+a)+(a^2+a+1)=[/tex]
[tex]=a^5(a^2+a+1)-a^4(a^2+a+1)+a^2(a^2+a+1)-a(a^2+a+1)+(a^2+a+1)=[/tex]
[tex]=(a^2+a+1)(a^5-a^4+a^2-a+1)[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ето още едно, доста тежко решение. Но и задачата не е лека!

Да означим [tex]F=a^7 + a^2 + 1[/tex]

Умножаваме [tex]F[/tex] по [tex]a- 1[/tex].

[tex](a-1)F=(a-1)(a^7 + a^2 + 1)[/tex]

Разкриваме скобите отдясно [tex](a-1)F=a^8 + a^3 + a-a^7 - a^2 - 1[/tex]
Подреждаме по степените на [tex]a[/tex]
[tex](a-1)F=a^8 -a^7+ a^3 - a^2+ a - 1[/tex]

Сега да групираме така [tex](a-1)F= \underbrace{a^8 -a^2 }\underbrace{- a^7+ a}+\underbrace{a^3 - 1}[/tex]
Изнасяме множители
[tex](a-1)F=a^2 (a^6 -1) - a(a^6- 1)+a^3-1[/tex]

Разлагаме на множители, като първоначално използваме само формулата [tex]x^2-y^2=...[/tex]
[tex](a-1)F=a^2 [(a^3)^2 -1^2] - a[(a^3)^2 -1^2]+a^3-1[/tex]

[tex](a-1)F=a^2 (a^3-1)(a^3+1) - a(a^3-1)(a^3+1) +a^3-1[/tex]

Изнасяме общия множител [tex](a^3-1)[/tex] пред скоби

[tex](a-1)F= (a^3-1)[a^2(a^3+1) - a(a^3+1) +1][/tex]

Разлагаме на множители първия от двата множителя, а втория привеждаме в нормален вид - като разкриваме вътрешните скоби.

[tex](a-1)F= (a-1)(a^2+a+1)(a^5+a^2-a^4-a +1)[/tex]

Съкращаваме [tex]a- 1[/tex] - връщаме си "странния ход" от началото

[tex]\cancel{(a-1)}F= \cancel{(a-1)}(a^2+a+1)(a^5+a^2-a^4-a +1)[/tex]

Получихме разлагането [tex]a^7 + a^2 + 1= (a^2+a+1)(a^5+a^2-a^4-a +1)[/tex]

Сега може да се направи проверка, като се умножат двата многочлена в дясната страна и се извърши опростяване като се съберат подобните и унищожат противоположните едночлени.
Много трудна задача!
Не се наемам да обясня сега, защо даденият многочлен [tex]F[/tex] не може да се разложи на повече множители - както например да се получи нещо от вида [tex](a^2+a+1)(a+1)(a-2)(a^3+a-1)[/tex]. Това е учебен материал за по-големите.