Разлагане на елементарни дроби

[repset]

Здравейте имам проблем със задача от горепосоченият вид R(x)=(x-1)/(x^3+6x^2+9), проблемът ми е че немога да направя B или C на бъдат 0 A го намирам. Ако някои може да ми обясни идеята ще бъда благодарен.

[Knowledge Greedy]

Да се разложи на елементарни дроби [tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+9}[/tex]

Задачи като тази [tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+9}[/tex]
не се предлагат като примерни задачи по темата или като учебни задачи за начинаещи.

Ще я заменя със следната
[tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+x^2-9x-9}[/tex], която подлежи на обяснение с желания метод.

Първо разлагаме на множители знаменателя
[tex]x^3+x^2-9x-9=(x+1)(x-3)(x+3)[/tex] (това става чрез групиране, със схема на Хорнер и пр.)
Искаме представяне на дробта [tex]R(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x-3)(x+3)}[/tex] от вида
[tex]R(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x+3}[/tex]

След привеждане към общ знаменател [tex](x+1)(x-3)(x+3)[/tex], получаваме в числителите
[tex]R(x)=\frac{A(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-3)(x+3)}+\frac{B(x+1)(x+3)}{(x+1)(x-3)(x+3)}+\frac{C(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)(x+3)}[/tex]

събираме дробите и в числителя на дробта сбор получаваме
[tex]A(x^2-9)+B(x^2+4x+3)+C(x^2-2x-3)=Ax^2-9A+Bx^2+4Bx+3B+Cx^2-2Cx-3C=(A+B+C)x^2+(4B-2C)x-9A+3B-3C[/tex]

Приравняваме тъждествено този числител на числителя [tex](x-1)[/tex] на дадената дроб
[tex](A+B+C)x^2+(4B-2C)x-9A+3B-3C \equiv x-1[/tex]

и прилагаме (ПСК) принципа за сравняване на коефициентите
[tex]\begin{array}{|l} A+B+C = 0 \\ 4B-2C = 1 \\ -9A+3B-3C = -1 \end{array}[/tex]

Системата дава
[tex]\begin{array}{|l} A = \frac{1}{4} \\ B= \frac{1}{12} \\ C=-\frac{1}{3} \end{array}[/tex]
Получихме разлагането [tex]R(x)=\frac{ \frac{1}{4}}{x+1}+\frac{ \frac{1}{12}}{x-3}+\frac{- \frac{1}{3}}{x+3}[/tex]
______________
Ако нещо сте разбрали и искате да разберете още, мога да Ви предложа и следната
[tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+x^2+9x+9}[/tex], която също подлежи на обяснение с желания метод.

[repset]

Проблемът ми е с тази задача, която написъх аз, студент съм и ми се падна на изпита но неможах да я реша затова питам тази задача за която си дал пример знам как се решава.

[Knowledge Greedy]

Задачата, за която питате няма лесно представим точен корен на знаменателя. Той може да се представи с радикали или приближено, но обемът на писането значително се увеличава.
Нека реалният корен на знаменателя е [tex]\alpha[/tex]. Не е трудно да се провери, че други реални корени освен [tex]\alpha[/tex] уравнението [tex]x^3+6x^2+9=0[/tex] няма.
(В случая

Трите приближени корена на знаменателя.png (1.32 KiB) Прегледано 4665 пъти

, като [tex]x_2[/tex] и [tex]x_3[/tex] са комплексните корени на [tex]x^2+bx+c[/tex] - виж по-долу )
Следователно имаме представяне от вида [tex]x^3+6x^2+9=(x-\alpha)(x^2+bx+c)[/tex], където [tex]x^2+bx+c[/tex] е квадратен тричлен с отрицателна дискриминанта.
Така [tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+9}[/tex] ще има представяне като сума на рационални дроби от вида
[tex]R(x)=\frac{A}{x-\alpha}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}[/tex], където [tex]A, B[/tex] и [tex]C[/tex] са константи, които определяме по ПСК.
Ето защо предложих и втората задача [tex]R(x)=\frac{x-1}{x^3+x^2+9x+9}[/tex], в която ситуацията с корените е като описаната по-горе, само че по-кратка за описване.
[tex]R(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x^2+9)}[/tex]

Следователно [tex]R(x)=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+9}[/tex], където [tex]A, B[/tex] и [tex]C[/tex] са константи, които определяме по ПСК.
(Техниката в тези задачи е следната. Всяка елементарна дроб е със знаменател или линеен двучлен, или квадратен тричлен[tex]^{*}[/tex]. Тези дроби, които са с двучлен в знаменателя имат в числителя само константа ( – виж [tex]A[/tex] по-горе); тези дроби, които имат квадратен тричлен в знаменателя с отрицателна дискриминанта, в числителя си имат линеен двучлен - виж по-горе [tex]Bx+C[/tex]. В смисъл на степени, елементарните дроби са правилни - аналогично на правилните числови дроби.)
______________
[tex]^{*}[/tex] Има и още една възможност. Дробите да са със знаменатели, които са естествени степени на изброените два случая. При интерес, ще разгледам и тях.
______________
За задачата, която предложих, се получават
[tex]\begin{array}{|l} A=-\frac{1}{5} \\ B = \frac{1}{5} \\ C=\frac{4}{5} \end{array}[/tex]

[repset]

Благодаря !!