Свободният член на израз от висока степен

[christotaku]

Каква е стойността на свободният член на израза [tex](2x^{4} + \frac{1}{x^{3}})^{7}[/tex] ?

[Knowledge Greedy]

Ще се получи единствено по следния начин - от едночлена [tex]{7 \choose 3}\left ( 2x^4 \right )^3\left ( \frac{1}{x^3} \right )^4 = 320[/tex]

[christotaku]

Ще се получи единствено по следния начин - от едночлена [tex]{7 \choose 3}\left ( 2x^4 \right )^3\left ( \frac{1}{x^3} \right )^4 = 320[/tex]

Само дето отговорът е 280. А от къде идва тази формула, която си написал/а?
P.S. и как точно получи 320

[Knowledge Greedy]

Другият запис за биномния коефициент [tex]C_n^k \,\ = \,\ \frac{n!}{k!(n-k)!}[/tex]
е [tex]{n \choose k}[/tex] и това е числото на [tex]k[/tex]- то място в [tex]n[/tex]- ия ред на таблицата

Триъгълник на Паскал и бином на Нютон.png (4.64 KiB) Прегледано 1643 пъти

като първите единици са на "нулево" място и най-високата единица е на "нулев" ред (а не първи!).
Таблицата се нарича триъгълник на Паскал и съдържа още коефициентите в развитието на нютоновия бином - виж например третия ред 1, 3, 3, 1 и сравни с това по-долу:
[tex](x+y)^3=1.x^3+3x^2y+3xy^2+1.y^3[/tex]

Виж четвъртия ред 1, 4, 6, 4, 1 и сравни с коефициентите по-долу:
[tex](x+y)^4=1.x^4+4x^3y^2+6x^2y^2+4xy^3+1.y^4[/tex]

Що се отнася до сметката, да така е
[tex]2^3.{7 \choose 3}=8.\frac{7!}{3!4!}=8.\frac{\cancel{1.2.3.4.}5.6.7}{1.2.3.\cancel{1.2.3.4}}=8.35=280[/tex]