Лесна задачка

[KOPMOPAH]

На какво е равно $ab + cd$, ако е дадено, че $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$ и $ac + bd = 0$?

[pal702004]

С тригонометрия става с 2 реда.

[KOPMOPAH]

С тригонометрия става с 2 реда.

Наистина! Но задачата е за 8 клас, а те не са учили тригонометрия.

[S.B.]

Днес КОРМОРАН явно го е ударила математическата муза!

[S.B.]

Благодаря за точката,приятел,но за разлика от КОРМОРАН на мен не ми идва никакво просветление в мислите! Имах други планове за днес,но ... математиката е като "краста" и тези задачки ми объркаха плановете!!!

[Genie_Almo]

Ок, тръгвам като руския цар защото нищо по-елегантно не ми хрумва.

[tex]ac=-bd[/tex] , ако [tex]c = 0 => bd = 0 ,[/tex] а оттам b=0 , защото [tex]d^{2} = 1[/tex] и [tex]d\ne 0[/tex] . Тогава [tex]ac + bd = 0[/tex].

Ако [tex]c \ne 0 , a= -\frac{bd}{c}[/tex] . Съответно търсим стойността на [tex]-\frac{bd}{c}*b + cd = d*(\frac{c^{2} - b^{2}}{c})[/tex]

[tex]a^{2} +b^{2} = \frac{b^{2}d^{2}}{c^{2}} + b^{2} = 1 \Rightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}}(d^{2} + c^{2}) = \frac{b^{2}}{c^{2}}*1 = 1 => b^{2} = c^{2}[/tex]

Следователно търсената стойност е 0.

[S.B.]

На какво е равно $ab + cd$, ако е дадено, че $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$ и $ac + bd = 0$?

1) Нека [tex]a = 0 \Rightarrow b = \pm 1[/tex] За да бъде изпълнено $ac + bd = 0$ е необходимо $d = 0 \Rightarrow c = \pm 1$
Получава се : $$ab + cd = 0$$
2) Нека $ c = 0 \Rightarrow d = \pm 1$ За да бъде изпълнено $ac + bd = 0$ е необходимо $b = 0 \Rightarrow a = \pm 1$
Получава се :$$ab + cd = 0$$
3) Нека $ a\ne 0 , b\ne 0 , c\ne 0 ,d \ne 0 $
[tex]ac + bd = 0 \Rightarrow a = - \frac{bd}{c}[/tex]
$a^{2} + b^{2} = 1 \Leftrightarrow (- \frac{bd}{c})^{2} + b^{2} = 1 \Leftrightarrow b^{2}(\frac{d^{2}}{c^{2}} + 1) = 1 \Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}}(d^{2} + c^{2}) = 1 \Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = c^{2}$
$b^{2} = c^{2} \Leftrightarrow 1 - a^{2} = 1 - d^{2} \Rightarrow a^{2} = d^{2}$
$b^{2} = c^{2} \Leftrightarrow (b + c)(b - c) = 0 \Rightarrow b_{1 } = - c ,b_{2 } = c$
$a^{2} = d^{2} \Leftrightarrow (a + d)(a - d) = 0 \Rightarrow a_{1 } = - d ,a_{2 } = d$
За $ab + cd$ имаме следните възможности:
$a_{1 }b_{1 } + cd = (-d)(-c) + cd = dc + cd = 2cd$ (за $ b = -c,a = -d$ )
$a_{1 }b_{2 } + cd = - d.c + cd = 0 $ (за $a = - d ,b = c$ )
$a_{2 }b_{1 } + cd = d.(-c) + cd = 0$ ( за $a = d ,b = -c$ )
$a_{2 }b_{2 } + cd = d.c + cd = 2cd $ ( за $a = d , b = c$ )
Получи се :
за $a = - d , b = -c $ и $a = d , b = c $ $$ab + cd = 2cd$$
за $a = d ,b = - c$ и $a = -d , b = c$ $$ab + cd = 0$$