Делене на полиноми - Намиране на остатък

[christotaku]

Имаме неизвестен полином, който се дели на [tex](x-1)^{2}[/tex] като дава остатък [tex]x + 1[/tex]. Същият полином делим на [tex]x^{2}[/tex]и получаваме остатък [tex]2x + 3[/tex]. Търси се какъв остатък ще се получи ако разделим въпросния полином на [tex]x^{2}×(x-1)^{2}[/tex]

Тази задачка ми се появи на един изпит вчера, но вече забравих дали остатъците бяха х+1 или х-1 и 2х+3 или 2х-3, но помня че отговорът за търсения остатък трябваше да бъде полином от поне втора степен. Но така или иначе иска ми се да схвана просто алгоритъма за това как се решава такъв тип задача. Знам как се делят полиноми, но не бях попадала на задача, при която от остатъка някакси трябва да заключим какъв ще е полинома или може би в тази задача дори не ни е нужно да намираме самия полином, а можем директно да заключим за търсения остатък???

[pal702004]

Без да съм сигурен, че е най-кратното, бих направил така: по метода на неопределените коефициенти:

$\dfrac{f}{x^2(x-1)^2}=f\left[\dfrac{2x+1}{x^2}-\dfrac{2x-3}{(x-1)^2}\right]=$

$=(2x+1)\dfrac{f}{x^2}-(2x-3)\dfrac{f}{(x-1)^2}$

понеже ни интересуват само остатъците,

$\dfrac{(2x+1)(2x+3)}{x^2}-\dfrac{(2x-3)(x+1)}{(x-1)^2}$

Ако не съм сбъркал получавам остатък $5x^3-8x^2+2x+3$

[pal702004]

Или, понеже търсения остатък е полином от степен, не по-голяма от 3, който освен това удовлетворява двете условия, може да делим стандартно

$(ax^3+bx^2+2x+3):(x^2-2x+1)$

като наместваме коефициентите така, че да се получи остатък $x+1$

[Kre4etalo]

Друг подход. Теоремата за деление с частно и остатък ни казва, че
$$(i)\ f(x)=q_1(x)(x-1)^2+x+1,\\
(ii)\ f(x)=q_2(x)x^2+2x+3.$$
Остатъкът при деление на $x^2(x-1)^2$ (4-та степен) е полином от най-много трета степен - $ax^3+bx^2+cx+d$. Съответно ще е изпълнено
$$(iii)\ f(x)=q(x)x^2(x-1)^2+ax^3+bx^2+cx+d.$$
Искаме да нулираме множителите пред частните $q_1,q_2,q$ (понеже не ги знаем). Заместваме в $(i)$ $x=1$ и получаваме $f(1)=2$. Диференцираме $(i)$ и отново заместваме $x=1$, откъдето $f'(1)=1$. Подобно в $(ii)$ и получаваме $f(0)=3$, $f'(0)=2$. Сега в $(iii)$ заместваме последователно $x=1,x=0$ и получаваме $f(1)=a+b+c+d$, $f(0)=d$. Сега диференцираме $(iii)$ и отново заместваме $x=1, x=0$ - получаваме $f'(1)=3a+2b+c$, $f'(0)=c$. Знаем стойностите на $f(1),f(0),f'(1),f'(0)$, така че последните четири равенства представляват линейна система за $a,b,c,d.$ Като я решим намираме, че остатъкът е $5x^3-8x^2+2x+3$.

Коментар. Съществено е, че полиномите, на които делим имат двукратни корени - $(x-1)^2,\ x^2$. Ако бяха с по два различни корени, при заместването с тези общо четири корена, щяхме да получим директно четири уравнения относно $a,b,c,d$. Тук обаче общо имаме два корена за двата полинома, така че ни трябват още две уравнения за да намерим $a,b,c,d$. Трябва да се възползваме от факта, че корените все пак са кратни. Именно затова диференцираме - производната също има тези числа за корени.

Подобна задача за упражнение - да се намери остатъкът при делението на полинома $x^n-x-1$ при деление на $x^3+x^2-5x+3$ (първият полином е избран сравнително произволно, идеята е просто да не бъде конкретен полином (очевидно не знаем степента на полинома например), така че да не могат да се приложат стандартните техники за деление на полиноми; вторият полином е по-прецизно избран).

Колега, от кой университет са тези задачи?

[christotaku]

Колега, от кой университет са тези задачи?

Това са задачи за кандидатстване в японски университет. А вие какво сте учили и къде/ при кого че се оправяте с тях?