Как да разлагам тричленни уравнения ??

[konstantin1010]

Здравейте!
Имам проблем с едно уравнение което не мога да го разделя:x3 -11x2+10x +42=0

Aко може и да ми обясните как става и самият метод защото аз не знам много добре как се разлагат такива изрази
Благодаря предварително !

[KOPMOPAH]

Да започнем с уточнението, че това не е тричленно уравнение, а уравнение от трета степен.

Продължаваме нататък - има една теорема на Безу, която е много полезна в тези случаи. Не знам дали сте я изучавали в клас, даже не знам дали все още (или въобще) се изучава. Ще ти я кажа като "тайно оръжие" (тайно, защото е нещо, което върши работа безотказно в над $90\%$ от случаите).

Без да навлизаме в детайлите, идеята е следната - проверява се за кой от делителите на свободния член изразът става равен на $0$. В конкретния случай свободният член е $42$, неговите делители са $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$ ...

С непосредствена проверка установяваме, че:$$3^3-11.3^2+10.3+42=27-99+30+42=0.$$ Това значи, че полиномът $x^3-11x^2+10x+42$ се дели на $x-3$ БЕЗ ОСТАТЪК (според стария мъдрец Безу)!
Делим$$x^3-11x^2+10x+42:x-3=x^2-8x-14$$Значи можем да напишем, че $$x^3-11x^2+10x+42=(x-3)(x^2-8x-14)$$Квадратният тричлен във вторите скобки се нулира при $$x_{1,2}=4\pm \sqrt{30}$$или в крайна сметка $$x^3-11x^2+10x+42=(x-3)\left(x-4-\sqrt{30}\right)\left(x-4+\sqrt{30}\right)$$

[KOPMOPAH]

Леко уточнение под формата на допълнение към казаното по-горе: ако някой от делителите на свободния член нулира израза, то трябва да се дели на $x$ минус делителя.
В конкретния случай при $x=3$ изразът става $0$ и делим на $x-3$. Ако се нулираше при $x=-1$, то трябваше да делим на $x-(-1)$, т.е. на $x+1$.