Разлагане на сума от елементарни дроби

[Гост]

Здравейте имам проблем със задача от посоченият вид R(x)=[tex]\frac{x^{3} +7x +32}{x^{5}+8x^{3}+16x}[/tex]

[Добромир Глухаров]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3%2B7x%2B32%29%2F%28x%5E5%2B8x%5E3%2B16x%29

$R(x)=\frac{x^3+7x+32}{x^5+8x^3+16x}=\frac{3-8x}{(x^2+4)^2}+\frac{1-2x}{x^2+4}+\frac{2}{x}$

Горното може да бъде получено например така:

$x^5+8x^3+16x=x(x^4+8x^2+16)=x(x^2+4)^2$

$\Rightarrow R(x)=\frac{Ax+B}{(x^2+4)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+4}+\frac{E}{x}$

$\Rightarrow x^3+7x+32=x(Ax+B)+x(x^2+4)(Cx+D)+(x^2+4)^2.E$

Разкриваме скобите и получаваме полином от 4-та степен, приравнен на нула, чиито коефициенти приравняваме на нули - получаваме система от 5 уравнения с 5 неизвестни - A,B,C,D,E.