Много мъчна задача!

[Гост]

Задача.
Да се намерят всички двойки полиноми f(x) и g(x) такива, че f(g(x))=g(f(x)).
Коментар. Ясно е, че такива двойки са следните:
Случай 1. f(x)=x, g(x) е произволен.
Случай 2. f(x) е произволен, g(x)=x.
Случай 3. f(x) е произволен, g(x)=f(x).
Търсят се двойки извън горните три тривиални случаи. Ако има такива - да се намерят. Ако няма - да се докаже, че няма.

[Гост]

Пропуснах нещо.
Става дума за полиноми с реални коефициенти.
Ясно е, че ако двойката (f(x), g(x)) има това свойство, то и двойката (g(x), f(x)) също го има. Тоест има симетрия по отношение на размяна на местата. Тоест в множеството на всички полиноми с реално коефициенти тази релация е симетрична. Така например горе случаи 1. и 2. са такива симетрични един на друг. С това уточнение от два симетрични случая е достатъчно да се разгледа само един. Така че от горните случаи 1. и 2. достатъчно е да се спомене само един. Следователно без ограничение на общността на разсъждения можем да разглеждаме случая deg(f)≥deg(g). Още два тривиални случаи съм пропуснал да спомена горе. За двата случая долу ако подкоренната величина е положителна, коренът се счита за аритметичен, ако подкоренната величина е отрицателна, коренът се счита за реален, не аритметичен. Да се счита, че за всяко реално число x корен първи от x е =x. Последното се получава от формулите в случай, че n=2.
Случай 4. f(x)=[tex]ax^{n}[/tex], g(x)=[tex]\sqrt[n-1]{a^{m-1}}x^{m}[/tex], където:
или случай 4.1. a е реално, a>0, n и m са цели числа, n≥2, m≥2;
или случай 4.2. a е реално, a<0, n и m са цели числа, n≥2, m≥2, като ако n е нечетно, то и m е нечетно.
Случай 5. f(x)=[tex]ax^{n}[/tex], g(x)=-[tex]\sqrt[n-1]{a^{m-1}}x^{m}[/tex], където:
или случай 5.1. a е реално, a>0, n и m са цели числа, n≥2, m≥2, n е нечетно;
или случай 5.2. a е реално, a<0, n и m са цели числа, n≥2, m≥2, като ако n е нечетно, то и m е нечетно.
В горните случаи под "ако n е нечетно, то и m е нечетно" се разбира, че възможността n е нечетно и m е четно е изключена.

[Гост]

Малка поправка.

или случай 5.1. a е реално, a>0, n и m са цели числа, n≥2, m≥2, n е нечетно;

Вместо n≥2 да се разбира n≥3.