Полиноми и цели числа.

[Гост]

Може ли някой да помогне за тази задача, моля?
Задача. Ако f(x) е полином, с V(f) ще означаваме множеството от стойностите на полинома за стойности на аргумента всички цели числа. Ако f(x) и g(x) са линейни полиноми с цели коефициенти, такива че V(f)=V(g) (т.е. множествата V(f) и V(g) съвпадат), вярно ли е, че съществува цяло число k такова, че f(x)=g(x+k), т.е. полиномите f(x) и g(x+k) са тъждествено равни?
Същият въпрос, но в случай че f(x) и g(x) са полиноми от втора степен с цели коефициенти? А ако f(x) и g(x) са полиноми с цели коефициенти от степен n? (n е цяло число, n≥3)

[peyo]

Може ли някой да помогне за тази задача, моля?
Задача. Ако f(x) е полином, с V(f) ще означаваме множеството от стойностите на полинома за стойности на аргумента всички цели числа. Ако f(x) и g(x) са линейни полиноми с цели коефициенти, такива че V(f)=V(g) (т.е. множествата V(f) и V(g) съвпадат), вярно ли е, че съществува цяло число k такова, че f(x)=g(x+k), т.е. полиномите f(x) и g(x+k) са тъждествено равни?
Същият въпрос, но в случай че f(x) и g(x) са полиноми от втора степен с цели коефициенти? А ако f(x) и g(x) са полиноми с цели коефициенти от степен n? (n е цяло число, n≥3)

Много интересна задача!

Да решим първия случай когато f(x) и g(x) са линейни полиноми с цели коефициенти.

$ f(x) = ax+b$
$ g(x) = cx+d$

Тези 2 функции за да имат еднакви множества от стойности V(f) и V(g), то всяка стойност от V(f) трябва да я има във V(g) и всяка стойност от V(g) трябва да я има във V(f).

Да разгледаме случая в точката 0:
$ f(0) = b$
Кога g(x) също ще е b ?:
$ g(x) = cx+d = b$
$x= (b - d)/c$

И обратния случай:
$ g(0) = d$
Кога f(x) също ще е d?:
$ f(x) = ax+b = d$
$x= (d - b)/a$

За x знаем, че трябва да е цяло число. Значи b - d трябва да се дели на c и на a.

И в точката 1:
$ f(1) = a+b$
Кога g(x) съшо ще е a+b?:
$ g(x) = cx+d = a+b$
$x= (a+b - d)/c$

И обратния случай:
$ g(1) =c+ d$
Кога f(x) също ще е c+d ?:
$ f(x) = ax+b = c+d$
$x= (c+d - b)/a$

b-d вече знаем, че се дели на c и на a, c трябва да се дели на а и а трябва да се дели на c. Това е само когато a=c. И така:

$ f(x) = ax+b$
$ g(x) = ax+d$

b - d се дели на a когатo е във вид:

$b = ra + e$
$d = qa + e$

$ f(x) = ax+ra + e$
$ g(x) = ax+qa + e$

Където a,r,e,q са цели числа.

И сега се пита вярно ли е, че съществува цяло число k такова, че f(x)=g(x+k), т.е. полиномите f(x) и g(x+k) са тъждествено равни?

Да видим! Можем ли да намерим k такова, че
$ax+ra + e = a(x+k) +qa + e $

$ \cancel{ax}+ra + \cancel{e} = \cancel{ax}+ аk +qa + \cancel{e} $

$ ra - qa= аk $

$ k = \frac{ra - qa}{a} = r-q$

И отговора е ДА! Съществува такова k и е цяло число дори!

Доколкото мога да преценя успешно решихме случая за полиноми от първа степен. Интересно дали този метод е приложин за втора степен и за n-та степен?! Или има друг по-лесен метод?