Уравнение

[Гост]

Моля за помощ за тази задача:
Нaмeрeтe cтoйнoститe на a и b, зa кoитo урaвнението 3x⁴+4x³-6x²+bx+a = 0 има кратен корен x = -1.

[peyo]

Моля за помощ за тази задача:
Нaмeрeтe cтoйнoститe на a и b, зa кoитo урaвнението 3x⁴+4x³-6x²+bx+a = 0 има кратен корен x = -1.

Скрит текст: покажи

Това e sympy демонстрация, а не решение.

Код: Избери целия код

In [20]: from sympy import *
    ...: var("x,a,b,k,m,n")
    ...: u1 = 3*x**4 + 4*x**3 -6*x**2 +b*x +a
    ...: u2 = (x+1)**2*(k*x**2+m*x+n)
    ...: S = [ c[0]-c[1] for c in zip(poly(u1,x).all_coeffs(),poly(u2,x).all_coeffs())]
    ...: print(solve(S))
    ...: print(solve(u1.subs(solve(S))))

{a: -5, b: -12, k: 3, m: -2, n: -5}
[-1, 5/3]

[Davids]

Ако допуснем, че става дума за реален полином $p(x)$, то тогава $x_0$ е $k$-кратен корен на $p \Longleftrightarrow f(x_0) = f'(x_0) = \dots = f^{(k -1)}(x_0) = 0$ и $f^{(k)}(x_0) \ne 0$
Нека $p(x) := 3x^4 + 4x^3 - 6x^2 + bx + a$.
Тогава
$p'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 12x + b$
$p''(x) = 36x^2 + 24x - 12 = 12(3x^2 + 2x - 1)$, като тук вече не зависим от параметрите, но достатъчно любопитно $x = -1$ отново е корен;
$p'''(x) = 12(6x + 2) = 24(3x + 1)$, като тук вече единствен корен е $x = -\frac{1}{3}$.

Значи като нагласим параметрите за "кратност" (което тълкуваме като поне двукратност), всъщност ще получим $x = -1$ като точно трикратен корен.

Значи решаваме системата

[tex]\begin{array}{|l} p(-1) = 0 \\ p'(-1) = 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}3 - 4 - 6 - b + a = 0 \\ -12 + 12 - 12 + b = 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}a - b - 7 = 0 \\ b + 12 = 0\end{array}[/tex]

Решението е $(a, b) = (-5, -12)$.

[grav]

Ако допуснем, че става дума за реален полином $p(x)$, то тогава $x_0$ е $k$-кратен корен на $p \Longleftrightarrow f(x_0) = f'(x_0) = \dots = f^{(k -1)}(x_0) = 0$ и ...

Защо трябва да е реален?

[Davids]

Ако допуснем, че става дума за реален полином $p(x)$, то тогава $x_0$ е $k$-кратен корен на $p \Longleftrightarrow f(x_0) = f'(x_0) = \dots = f^{(k -1)}(x_0) = 0$ и ...

Защо трябва да е реален?

Беше допускане по бегъл спомен с цел да си вържа гащите с алгебричните детайли. Въртеше ми се като важна подробност, че искаме да сме върху поле с характеристика 0, но не си спомням изцяло подробностите. Набързо не ми се получи да си потвърдя съмненията в интернет, може да се разиска допълнително. Така или иначе, понеже за полета не се споменава нищо в условието, реших, че най-вероятно се има предвид имплицитно реален, както е практиката в училище