олимпиада 2002

[Гост]

Намерете стойността на израза [tex]x^{2002 } + 1 \frac{1} x^{2002 } b}[/tex] , ако [tex]x^{2 } + x + 1 = 0[/tex]

[Гост]

[tex]x^{2002 } + \frac{1}{ x^{2002 } }[/tex]

[ammornil]

Къде е дефинирано [tex]x[/tex]?

[tex]\boxed{x \in \mathbb{R}} \Rightarrow \nexists{x}\in\mathbb{R} : x^{2}+x+1=0[/tex]

[tex]\boxed{x \in \mathbb{C}}, j=\sqrt{-1}: \\ x^{2}+x+1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm j\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x_{1,2}^{2}=-1\pm \sqrt{3}j \Rightarrow \begin{cases} x_{1}^{2}=-1-\sqrt{3}j=-2\cdot{}e^{j\cdot{}\arctg{\sqrt{3}}} \\ x_{2}^{2}=-1+\sqrt{3}j=-2\cdot{}e^{-j\cdot{}\arctg{\sqrt{3}}} \end{cases} \\ \begin{cases} x_{1}^{2002}=(x_{1}^{2})^{1001}=-2^{1001}\cdot{}e^{1001\cdot{}j\cdot{}\arctg{\sqrt{3}}} \\ x_{2}^{2002}=(x_{2}^{2})^{1001}=-2^{1001}\cdot{}e^{-1001\cdot{}j\cdot{}\arctg{\sqrt{3}}} \end{cases}[/tex]

[Гост]

Олимпиадата е за 8 клас, така че [tex]x[/tex] трябва да принадлежи към множеството на реалните числа. Когато аз видях задачата, си помислих за изразяване на някаква степен на [tex]x[/tex] и след това заместване. Може би е грешка..

[pal702004]

Разбира се, че $x$ не е реално, но не е и нужно. Достатъчни са формулите на Виет. Просто $x$ и $\dfrac 1 x$ са двата корена на уравнението, така че трябва да се намери

$x_1^{2002}+x_2^{2002}$

като се има предвид, че $x_1+x_2=-1,\;\;x_1x_2=1$

и че

$x_1^n+x_2^n=(x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})-x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})$

$S_n=-S_{n-1}-S_{n-2}$

Получаваме в цикъл $2,-1,-1$

[ammornil]

Условието не е за сбора на степените на двата корена едновременно, или аз не съм видял...

[ptj]

Същото като на Pal702004, но обяснено малко по-различно:

[tex]x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x^2+1=-x \Leftrightarrow \frac{x^2+1}{x}=-1[/tex]

Нека [tex]S_i= x^i+ \frac{1}{x^i} \Leftrightarrow S_i= \frac{x^{2i}+1}{x^i}[/tex] ,[tex]i \in[/tex](N[tex]\cup \{0\} )[/tex]

т.е. [tex]S_1=-1[/tex] (по условие), [tex]S_0=2[/tex] (по определение).

Нека [tex]j \in (N \cup \{ 0 \} ),j \ge i[/tex]

[tex]S_i.S_j= \frac{(x^{2i}+1)}{x^i} .\frac{(x^{2j}+1)}{x^j}= \frac{x^{2(i+j)}+1}{x^{i+j}}+ \frac{x^{2i}+x^{2j}}{x^{i+j}}=S_{i+j}+ x^{-(j-i)}+x^{(j-i)}=S_{(i+j)}+S_{(i-j)}[/tex]

Тогава:

[tex]1=(-1).(-1)S_1.S_1=S_{(1+1)}+S_{(1-1)}=S_2 +S_0=S_2+2 \Rightarrow S_2=-1[/tex]

[tex]1=(-1).(-1)=S_1.S_2=S_{(1+2)}+S_{(2-1)}=S_3 +S_1=S_3-1 \Rightarrow S_3=2[/tex]

[tex]-2=(-1).(2)=S_1.S_3=S_{(1+3)}+S_{(3-1)}=S_4 +S_2=S_4-1 \Rightarrow S_4=-1[/tex]

[tex]1=(-1).(-1)=S_2.S_2=S_{(2+2)}+S_{(2-2)}=S_4 +S_0=S_4+2 \Rightarrow S_4=-1[/tex]


Т.е. получаваме същата цикличност за сумите (2;-1;-1). Като за всеки кратен на 3 индекс, съответната сума е равна на 2.

Тогава от [tex]2002=2001+1=3.667+1 \Rightarrow S_{2002}=x^{2002}+ \frac{1}{x^{2002}}=-1[/tex]

Индукцията не е проблем за всеки един състезател, затова ще я пропусна.

П.П. По принцип получения резултат може да се преработи до дадената от колегата по-рано рекурентна формула.

[Гост]

друга идея.jpg (66.71 KiB) Прегледано 504 пъти