Нули на полином

[hrisaka1234]

Намерете стойностите на коефициентите a и b, т.ч нулите на полинома [tex]x^{4 }[/tex]+[tex]2x^{3 }[/tex]-21[tex]x^{2 }[/tex]+ax+b да са аритметична прогресия.

Наистина не знам как да я реша, много благодаря на всеки който ми помогне.]

[Гост]

Нека нулите на полинома са аритметичната прогресия $\div x_1,x_2,x_3,x_4$ или записана чрез втория член и разликата $\div c-d,c,c+d,c+2d$

Тогава самият полином е

$x^4+2x^3-21x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2-(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x+x_1x_2x_3x_4$

и понеже коефициентите пред равните степени трябва да са равни

$\begin{array}{|l}x_1+x_2+x_3+x_4=-2\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=-21\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-a\\x_1x_2x_3x_4=b\end{array}$

От първите две уравнения, като изразим $x_1,x_2,x_3,x_4$ чрез $c$ и $d$, получаваме

$\begin{array}{|l}c-d+c+c+d+c+2d=-2\\(c-d)c+(c-d)(c+d)+(c-d)(c+2d)+c(c+d)+c(c+2d)+(c+d)(c+2d)=-21\end{array}$

Оттук намираме $c$ и $d$, съответно $x_1,x_2,x_3,x_4$ и от последните две уравнения на голямата система - $a$ и $b$.

[hrisaka1234]

Много Ви благодаря.
И аз си помислих за това, започнах да разкривам скобите, но стана много дълго.
Вие разкрихте ли ги, или по някакъв начин ги групирахте направо?

[Гост]

Да, групирах ги. Пред $n-k$-тата степен на х - сумата от всички едночлени от $k$-та степен или другояче казано - комбинации от $n$ елемента, $k$-ти клас. Съответно броят събираеми в коефициента пред $n-k$-тата степен е $C_n^k$ - комбинации от ен елемента кати клас.