Задача от олимпида 11кл. 2020

[hrisaka1234]

Намерете полином P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d с цели коефициенти, който се дели на x^2-1, а при деление с (x-2)^2 дава остатък 45x-36.
Наистина зациклих.

[ptj]

[tex]x^4+ax^3+bx^2+cx+d=x^2(x^2-1)+(c+1)(x^2-1)+(d-c-1)+x(ax^2+c)[/tex]

т.е. [tex]a=-c[/tex] и [tex]d=c+1[/tex]

...

[Евва]

Само [tex]x^{4 }-13 x^{3 }+39 x^{2 } +13х-40[/tex] ли е отговора ,
или има и друг ?

Защо в раздела пише многочленим ?

[ptj]

[tex]x^2-1=(x+1)(x-1) \Rightarrow P(1)=P(-1)=0[/tex],

т.е. [tex]1-a+b-c+d=1+a+b+c+d=0 \Leftrightarrow a+c=1+b+d=0[/tex]

[tex]P(x)=x^4+ax^3+bx^2-ax-b-1[/tex]

[tex]45x-36=45(x-2)+54[/tex]

сл. [tex]P(2)=16+8a+4b-2a-b-1=6a+3b+15=54 \Rightarrow 2a+b=13[/tex]

[tex]P(x)=x^4+ax^3+(13-2a)x^2-ax+2a-14[/tex]

[tex]P(x)-45x+36=[/tex]

[tex]x^4+ax^3+(13-2a)x^2 +(-45-a)x+2a+22=(x-2)x^3+(a+2)(x-2)x^2+17(x-2)x+(-a-45+34)(x-2)+(2a+22-2a-22)=[/tex]

[tex]=(x-2)\bigg(x^3+(a+2)x^2+17x-a-11\bigg)=(x-2)\bigg((x-2)x^2+(a+4)(x-2)x+(17+2a+8)(x-2)+(-a-11+4a+50)\bigg)[/tex]


Остава да нулираме свободния член:

[tex]3а+39=0 \Leftrightarrow а=-13[/tex]

[tex]P(x)=x^4-13x^3+39x^2+13x-40[/tex]

[Гост]

Полином-page-001.jpg (98.66 KiB) Прегледано 192 пъти

[hrisaka1234]

Много благодаря на всички!