Нула на полином

[Гост]

Кое от числата е нула на полинома
A(x)=(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)-9x^2

Правилния отговор е 1+sqrt(2)/2 . Не знам как да стигна до него, като уравнението не е симетрично.
Забелязвам 2x^2 + 1 в двата множителя, но не съм сигурен как да продължа.
Моля за помощ

[Davids]

Тук идеята на въпроса, според мен, е да пробваш всяко едно от "числата" (споменатите, но ненаписани възможни отговори) и да видиш кое занулява полинома. С други думи, упражнение по пресмятане на функция за конкретна стойност на аргумента. Тоест, не се изисква пряко сили "да стигнем до него". Ако все пак, отделно от поставената задача, ти е интересно; това си е вече друг въпрос. За кой клас става дума? С какви очаквания за познати техники боравим? Най-универсален метод за полиноми до 4-та степен е с неопределени коефициенти, т.е. ползваме хитрото си теоретично познание, че всеки полином се разлага на множители от най-много втора степен, и записваме полинома във вида:
$A(x) = (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f)$

Разкриваме скобите от двете страни и приравняваме коефициентите. Решаваме системата и оттам нататък вече работим с произведение на квадратни тричлени.

[Евва]

А(х)= [tex]4х^{4 } +10х^{3 } +2x^{2 } -6x^{3 }-15 x^{2 }-3х+2 x^{2 } +5х+1-9 x^{2 }[/tex]

А(х)= [tex]4 x^{4 }[/tex] [tex]+4 x^{3 }[/tex]-20[tex]x^{2 }[/tex]+2х+1 (1)

Както Davids е написал ,трябва да представим полинома във вида :
А(х)= [tex](2 x^{2 } +aх+1)( 2x^{2 }+bх+1)[/tex] (3)
a=? b=?

A(x)= [tex]4x^{4 } +2bx^{3 } +2x^{2 } +2ax^{3 }+ab x^{2 }+ax+2 x^{2 }+bx+1[/tex]

A(x)= [tex]4x^{4 }[/tex]+2(a+b)[tex]x^{3 }[/tex]+(ab+4)[tex]x^{2 }[/tex]+(a+b)x+1 (2)

Сравняваме (1) и (2)
[tex]\begin{array}{|l} ab + 4 = - 20 \\ a+b = 2 \end{array}[/tex]
Решения на системата са [tex]a_{1 } =6 ,b_{1 } = -4[/tex] и [tex]a_{2 }= -4, b_{2 } =6[/tex] .

Връщаме се към (3) и при двата случая получаваме един и същи полином
А(х)= [tex](2 x^{2 }+6х+1)(2 x^{2 } -4х+1)[/tex]

[tex](2x^{2 } +6х+1)(2x^{2 }-4х+1)=0[/tex]
Питаме х=? Трябва [tex]2x^{2 } +6х+1[/tex]=0 ,или [tex]2x^{2 }-4х+1[/tex]=0

Реши квадратните уравнения и един от отговорите ще бъде [tex]\frac{2+ \sqrt{2} }{2} =1+ \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] .

[ptj]

Има теорема гласяща, че ако едно комплексно число е корен на уравнение с цели коефициенти, то неговото комплексно спрегнато също е корен.
Тогава дадения в условието на задача полином се дели на [tex](x-1-\frac{ \sqrt{2} }{2})(x-1+\frac{ \sqrt{2} }{2})=(x-1)^2-( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2=x^2-2x+1- \frac{1}{2}[/tex],
т.е. всичко което е иска е да провериш дали изходния полиним се дели на [tex]2x^2-4x+1[/tex].

[grav]

Има теорема гласяща, че ако едно комплексно число е корен на уравнение с цели коефициенти, то неговото комплексно спрегнато също е корен.
Тогава дадения в условието на задача полином се дели на [tex](x-1-\frac{ \sqrt{2} }{2})(x-1+\frac{ \sqrt{2} }{2})=(x-1)^2-( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2=x^2-2x+1- \frac{1}{2}[/tex],
т.е. всичко което е иска е да провериш дали изходния полиним се дели на [tex]2x^2-4x+1[/tex].

Това е така, но не е комплексно спрегнато.

[ptj]

Да, прав си . Комплексно спрегнатото е съвсем различно.

[peyo]

Кое от числата е нула на полинома
A(x)=(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)-9x^2

Правилния отговор е 1+sqrt(2)/2 . Не знам как да стигна до него, като уравнението не е симетрично.
Забелязвам 2x^2 + 1 в двата множителя, но не съм сигурен как да продължа.
Моля за помощ

Добре да пробваме с $u= 2x^2 + 1$, но ще трябва да решаваме много квадратни уравнения, което не е толкова лошо.

$A(x)=(2x^2-3x+1)(2x^2+5x+1)-9x^2$
$A(x)=(u-3x)(u+5x)-9x^2$
$A(x)=u^{2} + 2 u x - 24 x^{2}$

$A(x)=0$
$u^{2} + 2 u x - 24 x^{2}=0$
$\left[ \left\{ u_1 = - 6 x\right\}, \ \left\{ u_2 = 4 x\right\}\right]$

$- 6 x= 2x^2 + 1$
$\left[ x_1=- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}, \ x_2=- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}\right]$

$4 x= 2x^2 + 1$
$\left[ x_3=1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ x_4=\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right]$

[Гост]

Да, прав си . Комплексно спрегнатото е съвсем различно.

posledno ima li teorema i kakva e tja ?

[ptj]

Да, има фундаментална теорема в Алгебрата, че ако полинном с реални коефициенти има комплексен корен, то неговото комплексно спрегнато число също е корен.

Колкото до тази задача, може да се използва вида на корените на квадратния тричлен и да се предположи, че втория корен е именно съответния. Т.е. това, което предложих.

[Гост]

ami super, kvo prechi da ima analogichna teorema za polinomi s racionalni koeficienti?

vjarno li e, che ako [tex]a+b \sqrt{n}[/tex] e nula (n ne e tochen kvadrat, a i b-racionalni), to [tex]a-b \sqrt{n}[/tex] e sushto nula?

[ptj]

Доколкото си спомням още като ученик Румен Грозданов ни разказваше за "Квадратични полета". Една от теоремите мисля, че бе точно за исканото от вас.
Но даже и да греша, може да минете без нея:
Ако дадения полином да се дели на [tex](x-a-b \sqrt{n} )(x-a+b \sqrt{n}))=(x-a)^2-b^2n=x^2-2ax+a^2-b^2n[/tex],
то исканото от вас условие за 2 едновременни нули е изпълнено.

[grav]

ami super, kvo prechi da ima analogichna teorema za polinomi s racionalni koeficienti?

vjarno li e, che ako [tex]a+b \sqrt{n}[/tex] e nula (n ne e tochen kvadrat, a i b-racionalni), to [tex]a-b \sqrt{n}[/tex] e sushto nula?

Да, вярно е по същата причина. Числата от вида [tex]a+b\sqrt2[/tex], където [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са рационални образуват поле т.е. можеш да ги събираш, изваждаш, умножоваш и делиш и резултатите да са от същия вид. Изображението което праща [tex]z=a+b\sqrt2[/tex] в [tex]\overline{z}=a-b\sqrt2[/tex] запазва тези опреции т.е. [tex]\overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}[/tex] и [tex]\overline{z.w} = \overline{z}.\overline{w}[/tex]. Тогава ако имаш полином с рационални коефициенти [tex]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0[/tex] и [tex]z[/tex] е корен като приложиш това спрягане към

[tex]a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0=0[/tex]

ще получиш

[tex]\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0}=0[/tex]

или

[tex]a_n\overline{z}^n+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+\dots+a_1\overline{z}+a_0=0[/tex]

Защото коефициентите са рационални и за рационални [tex]\overline{a} = a.[/tex] Следователно [tex]\overline{z}[/tex] също е корен.